Krommen en oppervlakken > Kegels en kegelsneden
123456Kegels en kegelsneden

Uitleg

Een kegel is het oppervlak dat bestaat uit alle punten die een recht evenredig toenemende afstand hebben tot een vaste lijn . heet de as van de kegel en het punt waar de afstand tot de as is heet de top. De afstand van tot de as wordt bepaald door de halve tophoek , dat is de hoek tussen de as en de lijn .

Is de top en de -as de as van de kegel, dan ligt elk punt op een cirkel met straal . En omdat vind je

Dit is de vergelijking van een kegel met de -as als as, als top en als halve tophoek.

Je kunt deze vergelijking eenvoudig aanpassen voor het geval de top en de as evenwijdig met één van de coördinaatassen is. Ook een parametervoorstelling is mogelijk.

Opgave 1

Bekijk de Uitleg 1. Je ziet een kegel K met top O ( 0 , 0 , 0 ) , de z -as als symmetrieas en een halve tophoek φ = 1 6 π .

a

Neem nu aan dat punt P op de kegel K een z -waarde van 5 heeft. Bereken dan de straal van de cirkel waar P op ligt.

b

Bereken nu de y -coördinaat van P als de x -coördinaat 3 is.

c

Voor een ander punt P geldt x = -3 en y = 2 . Bereken de z -waarden die dit punt P kan hebben.

d

Aan welke vergelijking moeten de punten P ( x , y , z ) voldoen als P op de kegel ligt?

e

Leid nu zelf de algemene vergelijking af van en kegel met top O ( 0 , 0 , 0 ) , de z -as als symmetrieas en een halve tophoek φ .

Opgave 2

Natuurlijk hoeft een kegel niet de z -as als as te hebben en de oorsprong als top.

a

Stel een vergelijking op van een kegel met de x -as als symmetrieas, de oorsprong als top en een halve tophoek van 1 4 π .

b

Laat zien, dat een "kegel" met een halve tophoek van 0° een rechte lijn oplevert. Neem bijvoorbeeld de x -as als symmetrieas en de oorsprong als top.

c

Welke waarden kan de halve tophoek aannemen?

d

Stel een vergelijking op van een kegel met top T ( 1 , 2 , 3 ) , een as evenwijdig aan de y -as die door het punt ( 2 , 0 , 0 ) gaat.

verder | terug