Krommen en oppervlakken

Krommen en oppervlakken > Totaalbeeld

123456Totaalbeeld

Testen

Opgave 1

Hieronder zie je een aantal vergelijkingen of parametervoorstellingen van krommen en/of oppervlakken. Bepaal telkens om welke kromme en welk oppervlak het gaat en geef de karakteristieken ervan, zoals brandpunt(en), richtlijn(-cirkel), middelpunt, straal, top, symmetrieas, e.d.

$x^{2} + 4 y^{2} = 6 x - 8 y$

$(x, y) = (2 t, \frac{1}{4} t^{2} + 4)$

$x^{2} - 6 x = y^{2} - z^{2} + 4 z - 13$

$(x, y, z) = (2 + 2 v, 3 + 4 \cos (u), - 5 + 4 \sin (u))$

Opgave 2

Gegeven is ten opzichte van een rechthoekig $O x y$ -assenstelsel de cirkel $c$ met middelpunt $O (0, 0)$ en straal `5` . Verder zijn gegeven de punten $A (4, 0)$ en $B (7, 0)$ .
De kromme $k$ bestaat uit alle punten met gelijke afstand tot punt $A$ als tot cirkel $c$ .

Geef een vergelijking van $k$ . Hoe heet zo'n kromme?

Stel ook een parametervoorstelling voor $k$ op.

Bereken de coördinaten van de punten op $k$ waarin de raaklijn aan $k$ evenwijdig is met de lijn $y = x$ .

Stel vergelijkingen op van de raaklijnen door punt $B$ aan kromme $k$ .

Opgave 3

Gegeven zijn ten opzichte van een rechthoekig assenstelsel $O x y$ de cirkel $c : x^{2} + y^{2} - 6 x + 4 = 0$ en de parabool $p : y^{2} = - 0,5 x + 1,5$ .

Toon aan dat de top van de parabool en het middelpunt van de cirkel hetzelfde punt zijn.

Bereken de coördinaten van het brandpunt en de vergelijking van de richtlijn van $p$ .

Bereken de hoek waaronder beide krommen elkaar snijden.

Bereken de lengte van de kleinste cirkelboog die de parabool uit de cirkel wegsnijdt.

Opgave 4

Een voorbeeld van een conchoïde is de kromme $k$ die bestaat uit alle punten $(x, y)$ die voldoen aan de vergelijking $(x^{2} + y^{2}) {(x - 2)}^{2} = 16 x^{2}$ .

Welke waarden kunnen $x$ en $y$ aannemen?

Bereken de coördinaten van snijpunten van $k$ met de assen.

Bereken de coördinaten van de punten van $k$ waarin de raaklijn evenwijdig is met de $y$ -as.

Bereken de hoek waaronder beide raaklijnen aan $k$ in $O (0, 0)$ elkaar snijden.

Opgave 5

Ten opzichte van een rechthoekig assenstelsel $O x y z$ is de bol $B$ gegeven door de parametervoorstelling

$(x, y, z) = (4 + 5 \cos (u) \cos (v), 3 + 5 \sin (u) \cos (v), 5 \sin (v))$

waarin $0 \leq u < 2 π$ en $- \frac{1}{2} π \leq v \leq \frac{1}{2} π$ .

Bepaal de coördinaten van het middelpunt $M$ en de lengte $r$ van de straal van bol $B$ .

Geef een vergelijking van $B$ .

Bereken de coördinaten van de snijpunten van bol $B$ met de coördinaatassen.

Het vlak $V : z = 2,5$ snijdt de bol volgens een cirkel $c$ . Bereken de straal van $c$ .

Kegel $K$ heeft $M$ als top en snijdt de bol volgens cirkel $c$ . Stel een vergelijking en een parametervoorstelling van deze kegel op.

Bereken de hoek waaronder de bol en de kegel elkaar snijden in graden nauwkeurig.

Rechte lijn $l$ door $P (4, 6, 4)$ maakt een hoek van `60^@` met de bol en is evenwijdig met de vlak $x = y$ . Stel een parametervoorstelling op van $l$ .

Opgave 6

Gegeven is ten opzichte van een rechthoekig assenstelsel $O x y z$ een kegel met top $T$ op de $z$ -as en een grondcirkel die in het $O x y$ -vlak de vergelijking $x^{2} + y^{2} = 36$ heeft. De tophoek van de kegel is `90^@` .
Op de $y$ -as ligt punt $P (0, 12, 0)$ en op de $x$ -as ligt het punt $A (6, 0, 0)$ .
Het punt $Q$ ligt op $A T$ zo, dat de afstand van $Q$ tot $O T$ gelijk is aan `3` .

Teken deze kegel en punt $P$ in het assenstelsel.

Bepaal de coördinaten van punt $Q$ .

Bereken de afstand van lijn $P Q$ tot lijn $O T$ .

Lijn $P Q$ snijdt de kegel behalve in punt $Q$ ook in punt $R$ . Teken dit punt in je figuur en bereken de coördinaten van $R$ .

Bereken de hoek waaronder $P Q$ de kegel snijdt in graden nauwkeurig.

verder | terug