Krommen en oppervlakken > Totaalbeeld
123456Totaalbeeld

Antwoorden van de opgaven

Opgave 1
a

Kwadraat afsplitsen geeft de ellips `((x-3)^2)/13 + ((y+1)^2)/(3,25) = 1` .
Hierin is `13 = (0,5r)^2` en `3,25 = (0,5r)^2 - p^2` , zodat `p = +-sqrt(9,75)` . De brandpunten zijn daarom `(3 - sqrt(9,75); text(-)1)` en `(3 + sqrt(9,75); text(-)1)` . De symmetrieassen zijn `x = 3` en `y = text(-)1` .

b

De vergelijking van de kromme is `y = 1/16 x^2 + 4` , dus dit is een parabool met de `y` -as als symmetrieas en top `(0, 4)` .

c

Na kwadraat afsplitsen `(x-3)^2 = y^2 - (z-2)^2` , ofwel `(x-3)^2 + (z-2)^2 = y^2` .
Dit is een kegel met top `(3, 0, 5)` en een as evenwijdig aan de `y` -as. Voor de halve tophoek `varphi` geldt `tan^2(varphi) = 1` . De halve tophoek is daarom `varphi = 1/4 pi` .

d

Vergelijking `((y-3)/4)^2 + ((z+5)/4)^2 = 1` , dus `(y-3)^2 + (z+5)^2 = 16` . Dus dit is een cilinder met as evenwijdig aan de `x` -as en door `(0, 3, text(-)5)` . De straal van de cilinder is `4` .

Opgave 2
a

Voor elk punt `P(x, y)` op `k` geldt: `|OP| + |PA| = 5` .
Dus `sqrt(x^2 + y^2) + sqrt((4 - x)^2 + y^2) = 5` en dit geeft `36(x - 2)^2 + 100y^2 = 225` ofwel `((x - 2)^2)/(2,5^2) + (y^2)/(1,5^2) = 1` . Dus `k` is een ellips.

b

Gebruik `cos^2(t) + sin^2(t) = 1` . Een p.v. is bijvoorbeeld `x = 2 + 2,5 cos(t) ^^ y = 1,5 sin(t)` .

c

`(text(d)y)/(text(d)x) = (1,5 cos(t))/(text(-)2,5 sin(t)) = 1` geeft `tan(t) = text(-) 5/3` en dus `t ~~ 2,11 vv t ~~ 5,25` . Even invullen in de p.v. geeft `(3,29; text(-)1,29)` en `(0,71; 1,29)` .

d

Lijnen door `B(7, 0)` met richtingscoëfficiënt `a` hebben een vergelijking zoals `y = ax - 7a` .
Deze lijnen snijdt je met de ellips (invullen in de vergelijking) en je eist `D = 0` vanwege het raken. Je vindt ongeveer `y = text(-)0,35x + 2,42` en `y = 0,35x - 2,42` .

Opgave 3
a

Even herleiden tot `c: (x - 3)^2 + y^2 = 5` en `p: y^2 = text)-'0,5(x - 3)` .
Het middelpunt van `c` is `M(3, 0)` en de top van de parabool is `T(3, 0)` .

b

De afstand van brandpunt tot richtlijn is `0,25` en het brandpunt ligt links van de top (vanwege het minteken van `text(-)0,5` ). Dus brandpunt van `p` is `F(2,875; 0)` en de richtlijn is `x = 3,125` .

c

Snijpunten vindt je uit `(x - 3)^2 - 0,5(x - 3) = 5` en dit geeft `x = +-1` en dus zijn de snijpunten `A(1,1)` en `B(text(-)1, text(-)1)` . Neem `A(1, 1)` en bepaal de richtingscoëfficiënten van de raaklijnen aan beide krommen in dit punt. Voor `c` geldt (impliciet differentiëren): `(text(d)y)/(text(d)x) = (text(-)2x + 6)/(2y)` en dus is de r.c. van de raaklijn in `A` aan `c` gelijk aan `2` . Voor `p` geldt: `(text(d)y)/(text(d)x) = (text(-)0,5)/(2y)` en dus is de r.c. van de raaklijn in `A` aan `c` gelijk aan `text(-)0,25` . De hoek tussen beide kun je bijvoorbeeld met het inproduct van de bijbehorende richtingsvectoren berekenen. Je vindt ongeveer `67,4^@` .

d

Dat is de boog tussen beide snijpunten. Daarbij hoort een middelpuntshoek van `53,2^@` . De lengte van die boog is `(53,2)/(360) * 2pi * sqrt5 ~~ 2,08` .

Opgave 4
a

Schrijf de vergelijking als `y^2 = (16x^2)/((x-2)^2) - x^2` .
Je ziet dan dat `x != 2` en verder dat `(16x^2)/((x-2)^2) - x^2 ge 0` . Dit is alleen het geval als `text(-)2 le x le 6 ^^ x != 2` . De `y` -waarden kunnen alle reële waarden aannemen. Zie de gegeven figuur.

b

Op de `x` -as is `y = 0` en dit geeft de punten `(text(-)2, 0)` , `(0, 0)` en `(6, 0)` .
Op de `y` -as is `x = 0` en dit geeft het punt `(0, 0)` .

c

In dat geval heeft de afgeleide geen reële waarde, maar gaat naar oneindig.
`(text(d)y)/(text(d)x) = (text(-)64x)/(2y(x-2)^3) - (x)/(y)` bestaat niet als `x = 2 vv y = 0` . Dat levert de punten `(text(-)2, 0)` en `(6, 0)` op, want in `(0, 0)` is de afgeleide onbepaald en `x=2` geeft geen punt van de kromme.

d

`(text(d)y)/(text(d)x)` is in `(0, 0)` niet te bepalen. Maar je kunt wel werken met een lijn van de vorm `y = px` . Die kun je snijden met de kromme. Je krijgt dan `p^2x^2 = (16x^2)/((x-2)^2) - x^2` en dus `x^2((1-p^2)(x-2)^2 - 16) = 0` . Bij raaklijnen mag dit alleen `x=0` opleveren, dus `1 - p^2 = 0` , ofwel `p = +-1` . De raaklijnen maken daarom een hoek van `90^@` .

Opgave 5
a

Middelpunt `M(4, 3, 0)` en straal `r=5` .

b

`(x - 4)^2 + (y - 3)^2 + z^2 = 25`

c

Op de `x` -as is `y=0 ^^ z=0` , dus `(x - 4)^2 = 16` . Dat geeft `(0, 0, 0)` en `(8, 0, 0)` .
Op de `y` -as is `x=0 ^^ z=0` , dus `(y - 3)^2 = 9` . Dat geeft `(0, 0, 0)` en `(0, 6, 0)` .
Op de `z` -as is `x=0 ^^ y=0` , dus `z^2 = 0` . Dat geeft `(0, 0, 0)` .

d

Dit kun je op verschillende manieren aanpakken: meetkundig (met de SvP) of algebraïsch ( `z = 2,5` invullen in de bolvergelijking). Je krijgt een straal van `sqrt(25 - 2,5^2)` .

e

Voor de halve tophoek `varphi` van de kegel geldt: `tan(varphi) = (sqrt(25 - 2,5^2))/(2,5) = sqrt(3)` . De vergelijking is daarom `(x - 4)^2 + (y - 3)^2 = 3z^2` .

f

Teken een doorsnede van bol en kegel en het vlak `x = 4` . De doorsnede van de bol en dit vlak is een cirkel met vergelijkingen `(y - 3)^2 + z^2 = 25 ^^ x=4` . De doorsnede van de kegel en dit vlak bestaat uit twee lijnen door het middelpunt van de bol (en dus van de cirkel) en het raakpunt. Het raakvlak aan de kegel zie je dan als straal van de bol (en dus van de cirkel) naar het raakpunt en het raakvlak aan de kegel zie je als raaklijn aan de cirkel in het raakpunt. Deze staan loodrecht op elkaar, dus de hoek tussen kegel en bol is ook `90^@` .

g

`P(4, 6, 4)` ligt op de bol en `l` maakt dus een hoek van `60^@` met de normaalvector van het raakvlak in `P` . Die normaalvector is `MP = ((0),(3),(4))` . Verder staat `l` loodrecht op de normaalvector van het vlak `x = y` . Die normaalvector is `((1),(text(-)1),(0))` .
Neem je nu voor de richtingsvector van `l` de vector `((1),(a),(b))` , dan volgt uit beide inproducten `3a + 4b = 0,5 * 5 * sqrt(1 + a^2 + b^2) ^^ 1 - a = 0` . Dit levert op: `a = 1 ^^ b = (text(-)48 +- sqrt(2990))/49` . Je vindt twee mogelijke parametervoorstellingen, namelijk:
`((x),(y),(z)) = ((4),(6),(4)) + t * ((1),(1),({:0,14:}))` en `((x),(y),(z)) = ((4),(6),(4)) + t * ((1),(1),({:text(-)2,10:}))` .

Opgave 6
a

Halve tophoek is `45^@` , dus de hoogte van de kegel is gelijk aan de straal. Dit betekent `T(0, 0, 6)` .

b

`AT: ((x),(y),(x)) = ((6),(0),(0)) + t * ((text(-)1),(0),(1))` geeft `Q(6-t, 0, t)` . Omdat de afstand van `Q` tot `OT` (de `z` -as) gelijk is aan `3` is `x_(Q)=6-t=3` , dus `t=3` . Dit geeft `Q(3, 0, 3)` .

c

Vlak door `PQ` en evenwijdig `OT` (de `z` -as) maken. De gevraagde afstand is dan de afstand van `O` tot dit vlak. Dit kun je meetkundig oplossen in een bovenaanzicht, of aanpakken met vectormeetkunde (v.v. en vgl bedoelde vlak opstellen, loodlijn door `O` op dit vlak snijden met het vlak, etc.). De afstand wordt `(36)/(sqrt(153))` .

d

De vergelijking van de kegel is: `x^2 + y^2 = (z - 6)^2` .
Een v.v. van `PQ` is: `((x),(y),(x)) = ((3),(0),(3)) + p * ((1),(text(-)4),(1))` .
Snijden geeft `p = 0 vv p = text(-)0,75` . Dus `R(2,25; 3; 2,25)` .

e

De hoeken waaronder `PQ` de kegel snijdt zitten bij `P` en bij `Q` . Deze hoeken zijn gelijk, dus bereken je er één. Het gaat om de hoek bij `Q` tussen de r.v. van `PQ` en de n.v. van het raakvlak in `Q` aan de kegel.
R.v. `PQ` is `((1),(text(-)4),(1))` en n.v. raakvlak is `((1),(0),(1))` .
De hoek tussen deze vectoren is (inproduct): `arccos(1/3) ~~ 70,5^@` .
De gevraagde hoek is dus `~~19,5^@` .

Opgave 7Regeloppervlakken
Regeloppervlakken
a

Tussen `x` en `y` bestaat het verband `y=4+2*(x-2)/4 = 3 + 1/2 x` .

Omdat de `z` -waarden niet begrensd zijn, is dit een verticaal vlakdeel, binnen `text(-)2 le x le 6` en `2 le x le 6` .

b

Met het `xy` -vlak ( `z=0` ): de rechte lijn `y=3+1/2 x` .

Met het `xz` -vlak ( `y=0` ): `4+2cos(u)=0` geeft `cos(u) = text(-)2` en daar horen geen `u` -waarden bij. Er liggen dus geen punten in het `xz` -vlak.

Met het `yz` -vlak ( `x=0` ): `2+4cos(u)=0` geeft `cos(u) = text(-) 1/2` en `y = 3` . Dus dit wordt de lijn `y=3` .

c

Zie a: `y=3+1/2 x` met `text(-)2 le x le 6` en `2 le x le 6` .

d

Als `u` constant is, is de helicoïde een rechte lijn door `A(0, 0, u)` .

Het wordt zo een wenteltrap waarvan de treden netjes horizontaal liggen.

e

Alle rechte lijnen door `A(0, 0, u)` .

f

Neem `v=c` is constant, dan is de p.v. `(x, y, z) = (c * cos(0,5u), c * sin(0,5u), u)` .

Dit is een schroeflijn die ligt op een cilinder met straal `c` en de `z` -as als symmetrieas.

Opgave 8Omwentelingsoppervlakken
Omwentelingsoppervlakken
a

`x^2 + z^2 = p` zijn cirkels evenwijdig aan het `xz` -vlak en met middelpunt op de `y` -as en straal `sqrt(p)` .

b

`y = x^2 + p` zijn parabolen met top op de `z` -as.

c

De paraboloïde is een oppervlak waarvan alle punten evenver van het richtvlak `y=text(-)1/4` als van het brandpunt `F(0, 1/4, 0)` liggen.

d

`(x^2)/1 − (y^2)/4 + (z^2)/9 = 1` levert een hyperbool op als `z` constant is.

Dus je wentelt de hyperbool om de `y` -as.

Opgave 9Torus en apenzadel
Torus en apenzadel
a

Met het `xy` -vlak ( `z=0` ): `sqrt(x^2 + y^2) - 4 = +-1` , dus `x^2+y^2=25 vv x^2+y^2=9` .
Dit zijn twee cirkels beide met middelpunt `O(0, 0, 0)` met stralen `3` en `5` .

Met het `xz` -vlak ( `y=0` ): `(sqrt(x^2) - 4)^2 + z^2 = 1` , dus `(x-4)^2+z^2=1 vv (x+4)^2+z^2=1` .
Dit zijn twee cirkels met middelpunten `M_1(4, 0, 0)` en `M_2(text(-)4, 0, 0)` en beide met straal `1` .

Met het `yz` -vlak ( `x=0` ): `(sqrt(y^2) - 4)^2 + z^2 = 1` , dus `(y-4)^2+z^2=1 vv (y+4)^2+z^2=1` .
Dit zijn twee cirkels met middelpunten `M_1(0, 4, 0)` en `M_2(0, text(-)4, 0)` en beide met straal `1` .

b

`text(-)5 le x le 5` , `text(-)5 le y le 5` en `text(-)1 le x le 1` .

c

Met `x=1` : `(sqrt(1 + y^2) - 4)^2 + z^2 = 1` .

Met `x=2` : `(sqrt(4 + y^2) - 4)^2 + z^2 = 1` .

Met `x=sqrt(5)` : `(sqrt(5 + y^2) - 4)^2 + z^2 = 1` .

d

Het heeft de vorm van een zadel waarop ook een aap prettig kan zitten, vanwege de ruimte voor de staart.

e

Met het `xy` -vlak ( `z=0` ): `x^3 - 3xy^2 = 0` geeft `x=0 vv x = +-sqrt(3)y` .
Dit zijn drie rechte lijnen die elkaar in `(0, 0, 0)` snijden.

Met het `xz` -vlak ( `y=0` ): `z = x^3` .
Dit is een derdegraads functie door `(0, 0, 0)` .

Met het `yz` -vlak ( `x=0` ): `z = 0` .
Dit is een horizontale lijn door `(0, 0, 0)` .

f

`(0, 0, 0)`

g

Zie het antwoord bij e.

Opgave 10Scheve parabool
Scheve parabool
a

Op de `x` -as is `y=0` en dus `t^2 + t + 0,25 = 0` zodat `t = text(-)0,5` . Het snijpunt is `(text(-)1,25; 0)` .
Op de `y` -as is `x=0` en dus `t^2 - t - 2 = 0` zodat `t = text(-)1 vv t = 2` . De snijpunten zijn `(0; 0,25)` en `(0; 6,25)` .

b

`(text(d)y)/(text(d)x) = (2t + 1)/(2t - 1)`
Op de `x` -as is `y'=0 ^^ x'!=0` en dus `t = text(-)0,5` . Het bijbehorende punt is `(text(-)1,25; 0)` .
Op de `y` -as is `x'=0 ^^ y'!=0` en dus `t = 0,5` . Het bijbehorende punt is `(text(-)2,25; 1)` .

c

Voor `A` geldt `t = text(-)1` en dus `(text(d)y)/(text(d)x) = 1/3` .
Voor `B` geldt `t = 2` en dus `(text(d)y)/(text(d)x) = 5/3` .
De gevraagde hoek bereken je daarom met het inproduct van `((3),(1))` en `((3),(5))` . Die hoek wordt ongeveer `41^@` .

d

`x + y = p` snijden met de parabool: `2t^2 - 1,75 = p` . Je krijgt precies één waarde van `t` als `p = text(-)1,75` .

e

De symmetrieas is de middelloodlijn van de lijn door `(text(-)2,25; 1)` en `(text(-)1,25; 0)` .
Hij heeft daarom als vergelijking `y = x + 2,25` .

(bron: examen vwo wiskunde B in 1988, eerste tijdvak, opgave 3, aangepast)

Opgave 11Bol en cilinder
Bol en cilinder
a

Bol `beta` raakt `OC` in `O` dus het middelpunt `M` ligt in vlak `OAED` . Verder ligt `M` evenver van `O` , `F` en `B` . Dus is `M` het midden van `AE` en is de straal van de bol `sqrt(6^2 + 3^2) = sqrt45` . De vergelijking van `beta` is `(x - 6)^2 + y^2 + (z - 3)^2 = 45` .

b

Bol `gamma` heeft vergelijking `(x - 6)^2 + (y - 3)^2 + z^2 = 45` .
Lijn `EG` heeft v.v. `((x),(y),(z)) = ((6),(0),(6)) + t * ((6),(text(-)6),(0))` .
Voor de snijpunten van `gamma` en `EG` vind je `t = 0 vv t = text(-)0,5` . Het zijn dus `E(6, 0, 6)` en `H(3, 3, 6)` . En `|EH| = 3sqrt(2)` .

c

Punt `R` ligt op de raaklijn vanuit `B` aan de snijcirkel van de cilinder met vlak `ABFE` . Het raakpunt is `P` . Nu is `AP = 3` en `AB = 6` en `/_ APB = 90^@` , dus `BP = 3sqrt(3)` . Ook is `/_ ABP = 30^@` . Verder is `Delta BCR` gelijkvormig met `Delta PBA` (hh) en dus is `BR = 6/(3sqrt3) * 3 = 2sqrt(3)` . Hieruit kun je de coördinaten van `R` berekenen: `z_R = sqrt(3)` , `y_R = 3` en `x_R = 6` (maar dat wist je al). Dus `R(6, 3, sqrt(3))` .

(bron: examen vwo wiskunde B in 1991, eerste tijdvak, opgave 4, aangepast)

verder | terug