Een Pythagoreïsch tripel is een drietal gehele getallen
`a`
,
`b`
,
`c`
dat voldoet aan de vergelijking
`a^2 + b^2 = c^2`
.
Bekende voorbeelden zijn de tripels
`3, 4, 5`
en
`5, 12, 13`
.
Ze zijn te vinden door twee gehele getallen
`m`
en
`n`
te kiezen (
`m \gt n`
) en daar
`a, b`
en
`c`
in uit te drukken. Doe dat zo dat het grootste getal
`c`
is.
Kies voor
`a`
het getal
`m^2 - n^2`
, voor
`b`
het getal
`2mn`
en voor
`c`
het getal
`m^2 + n^2`
.
Toon aan dat
`a=m^2 - n^2`
en
`b=2mn`
en
`c=m^2 + n^2`
getallen zijn die een Pythagoreïsch tripel vormen.
Je moet aantonen dat `a^2+b^2=c^2` en dus dat `(m^2 - n^2)^2 + (2mn)^2 = (m^2 + n^2)^2` .
Links van het isgelijkteken:
`(m^2 - n^2)^2 + (2mn)^2 = m^4 + n^4 - 2m^2n^2 + 4m^2n^2 = m^4 + n^4 + 2m^2n^2`
Rechts van het isgelijkteken:
`(m^2 + n^2)^2 = m^4 + n^4 + 2m^2n^2`
Beide uitdrukkingen zijn identiek. Je krijgt inderdaad een drietal getallen dat aan
de vergelijking
`a^2 + b^2 = c^2`
voldoet.
Krijg je zo ook echt alle Pythagoreïsche tripels? (Denk eens aan de veelvouden van
een Pythagoreïsch tripel.)
In
Kies `m=17` en `n=12` . Welk Pythagoreïsch tripel levert dat op? Controleer met de vergelijking uit het voorbeeld of het goed gaat.
Welke getallen moet je voor `m` en `n` kiezen om het tripel `3, 4, 5` te krijgen?
Welke getallen moet je voor `m` en `n` kiezen om het tripel `5, 12, 13` te krijgen?
Welke getallen moet je voor `m` en `n` kiezen om het tripel `56, 90, 106` te krijgen?