Soorten getallen > Gehele getallen
123456Gehele getallen

Antwoorden van de opgaven

Opgave V1

Eigen antwoord.

Opgave 1
a

`2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47`

b

Je kunt proberen of je het getal kunt delen door een heel getal dat groter is dan `1` en kleiner dan het getal. Als er nooit een heel getal uitkomt, is het getal een priemgetal.

Opgave 2
a

Omdat `g = 2 n` altijd deelbaar is door `2` , want `(2 n) /2=n` en `n=0 , 1 , 2 , 3 , ...` .

b

Elk drievoud is te schrijven als `3 n` met `n=0, 1, 2, 3,...` .

c

Elk zesvoud is te schrijven als `6 n=2 *3 n` en dus in twee gelijke delen te verdelen. Met `n=0 , 1 , 2 , 3 , ...` . Een zesvoud is dus ook een tweevoud, een even getal.

d

Elk oneven getal is te schrijven als `2 n+1` met `n=0 , 1 , 2 , 3 , ...` .

Opgave 3
a

waar

b

niet waar

c

waar

d

waar

Opgave 4
a

Noem de twee even getallen `2 n` en `2 m` , waarbij `n` en `m` verschillende gehele getallen zijn. Dan is `2 n+2 m=2 (n+m)` , dus een even getal. Verder is `2 n-2 m=2 (n-m)` een even getal en `2 n*2 m=2 *(2 mn)` is ook een even getal.

Dit klopt ook voor `m = n` .

b

Noem de twee drievouden `3 n` en `3 m` , waarbij `n` en `m` verschillende gehele getallen zijn.
De som van beide is `3 n+3 m=3 *(n+m)` , dus een drievoud.
Het verschil van beide is `3 n-3 m=3 *(n-m)` , dus een drievoud.
Het product van beide is `3 n*3 m=3 *(3 mn)` , dus een drievoud.
Het quotiënt van beide is `(3 n) / (3 m) =n/m` , dus niet altijd een drievoud.

Opgave 5
a

`(2 n) ^3=2^3*n^3=8*n^3=2 *4 n^3` dus een even getal.

b

`(2 n+1 ) ^3=8 n^3+12 n^2+6 n+1 =2 *(4 n^3+6 n^2+3 n)+1` en dus altijd een oneven getal.

c

`g=2 n` , dus `a^(g)= a^(2 n) = (a^n)^2` en dat is een kwadraat.

Opgave 6
a

Van twee opvolgende gehele getallen is er altijd één een even getal, dus ofwel `n=2 p` , ofwel `n-1 =2 q` .
En daarom is `n*(n-1 )=2 *p*(n-1 )` en dus even, of `n*(n-1 )=n*2 *q=2 *nq` en dus even.

b

`n^2- (n-1 ) ^2=n^2-(n^2-2 n+1 )=2 n-1` en dat is altijd een oneven getal.

Opgave 7
a

`a=17^2-12^2=145`

`b= 2*17*12=408 `

`c=17^2+12^2=433`

Controle: `145^2+408^2=433^2` .

b

Dit betekent dat `c=5` . Je weet `c=m^2 + n^2` , dus `m^2 + n^2=5` en `m^2=5 - n^2` .
Invullen in `m^2 - n^2` geeft `5 - n^2-n^2` . Stel dit gelijk aan `3` en herleid. Je vindt: `2n^2 = 2` . Dan is `n=1` en `m^2 = 5 - 1 = 4` . Dit geeft `m=2` .

c

Dit betekent dat `c=13` . Je weet `c=m^2 + n^2` , dus `m^2 + n^2=13` en `m^2=13 - n^2` .
Invullen in `m^2 - n^2` geeft `13 - n^2-n^2` . Stel dit gelijk aan `5` en herleid tot `2n^2 = 8` . Dan is `n=2` en `m^2=13-4=9` . Dit geeft `m=3` .

d

Dit betekent dat `c=106` . Je weet `c=m^2 + n^2` , dus `m^2 + n^2=106` en `m^2=106 - n^2` .
Invullen in `m^2 - n^2` geeft `106 - n^2-n^2` . Stel dit gelijk aan `56` en herleid tot `2n^2 = 50` . Dan is `n=5` en `m^2=106-25=81` . Dit geeft `m=9` .

Opgave 8
a

`2520 =2^3*3^2*5 *7`

b

`2984800 = 2^5*5^2*7 *13 *41`

c

`1, 2, 4, 5, 7, 8, 10, 14, 20, 28, 35, 40, 56, 70, 140` en `280`

d

De grootste gemene deler van beide getallen is `2^3*5 *7 =280` .

Opgave 9
a

`2010` eerst delen door `2` . Je houdt `1005` over. Dit door `3` delen, geeft `335` , vervolgens door `5` delen en er blijft `67` over, dat een priemgetal is.

b

`2009 =7^2*41`

c

`15360 = 2^10*3*5`

d

Kun je een willekeurig natuurlijk getal `n` niet delen door een kleiner natuurlijk getal groter dan `1` , dan is `n` een priemgetal. Kun je het wel delen, bijvoorbeeld door `p` , dan is `n = p*q` . Voor die getallen `p` en `q` geldt afzonderlijk het voorgaande weer. En dus kun je doorgaan tot `n` alleen bestaat uit een vermenigvuldiging van priemgetallen.

Merk op dat je voor het bewijs van de hoofdstelling van de rekenkunde nog moet aantonen dat dit op een unieke manier kan.

Opgave 10
a

Neem de vijfvouden `5 n` en `5 m` . Dan is `5 n+5 m=5 *(n+m)` een vijfvoud.

b

Neem de vijfvouden `5 n` en `5 m` . Dan is `5 n*5 m=5 *5 nm` een vijfvoud.

c

Neem het vijfvoud `5 n` . Dan is `(5 n) ^2=5 *5 n^2` een vijfvoud.

d

Neem de vijfvouden `5 n` en `5 m` . Dan is `(5 n) / (5 m) =n/m` niet altijd een vijfvoud.

Opgave 11

Neem `g=2 n` met `n in ZZ` , dan is `g^4+g^3+2 g^2=16 n^4+8 n^3+8 n^2` .
Nu is `16 n^4` een 16-voud.
En `8 n^3+8 n^2=8 n^2(n+1 )` waarin ofwel `n` (dus ook `n^2` ) ofwel `n+1` even is. Daarom is ook `8 n^3+8 n^2` deelbaar door `16` . Als bijvoorbeeld `n+1` even is, dan geldt `n+1=2p` met `p in ZZ` . Je herleidt dan tot `16p*n^2` .
En dus is `g^4+g^3+2 g^2=16 n^4+8 n^3+8 n^2` deelbaar door `16` .

Voor het geval `n=2p` met `p in ZZ` geldt eenzelfde herleiding.

Opgave 12
a

De delers van `6` zijn: `1, 2` en `3` (en `6` zelf, maar die telt niet). En `1 +2 +3 =6` .

b

De delers van `28` zijn: `1, 2, 4, 7` en `14` (en `28` zelf, maar die telt niet). En `1 +2 +4 +7 +14 =28` .

c

`496`

`496= 1+2+4+8+16+31+62+124+248`

Opgave 13De zeef van Eratosthenes
De zeef van Eratosthenes

De priemgetallen zijn: `2, 3, 5, 7, 11, 13` .

Opgave 14Getallen met zeven verschillende cijfers
Getallen met zeven verschillende cijfers

Als je het eerste mogelijke getal `1234567` en het laatste mogelijke getal `7654321` optelt, dan krijg je `8888888` . Als je het tweede `1234576` en het een na laatste getal `7654312` optelt, dan krijg je weer `8888888` . Zo kunnen we doorgaan, het laatste getal van de eerste helft is dan het grootste getal kleiner dan `4444444` , dus `4376521` .

Opgave 15
a

Neem de zesvouden `6 n` en `6 m` . Dan is `6 n+6 m=2 *(3 n+3 m)` een even getal.

b

Neem de zesvouden `6 n` en `6 m` . Dan is `6 n+6 m=6 *(n+m)` een zesvoud.

c

Neem de zesvouden `6 n` en `6 m` . Dan is `6 n*6 m=36 nm=9 *4 nm` een negenvoud.

d

Neem de zesvouden `6 n` en `6 m` . Dan is `(6 n) / (6 m) =n/m` niet altijd een zesvoud, zelfs niet altijd een geheel getal.

Opgave 16

`n^3-n=n(n-1 )(n+1 )` en `n-1` , `n` en `n+1` zijn opeenvolgende gehele getallen, dus één van hen is een drievoud.

Opgave 17

`11025 =3^2*5^2*7^2` en `19305 =3^3*5 *11 *13` .
Hun gemeenschappelijke delers zijn daarom `1, 3, 5, 9, 15` en `45` .

verder | terug