Soorten getallen > Gehele getallen
123456Gehele getallen

Voorbeeld 3

Een Pythagoreïsch tripel is een drietal gehele getallen `a` , `b` , `c` dat voldoet aan de vergelijking `a^2 + b^2 = c^2` .
Bekende voorbeelden zijn de tripels `3, 4, 5` en `5, 12, 13` .
Ze zijn te vinden door twee gehele getallen `m` en `n` te kiezen ( `m \gt n` ) en daar `a, b` en `c` in uit te drukken. Doe dat zo dat het grootste getal `c` is.

Kies voor `a` het getal `m^2 - n^2` , voor `b` het getal `2mn` en voor `c` het getal `m^2 + n^2` .
Toon aan dat `a=m^2 - n^2` en `b=2mn` en `c=m^2 + n^2` getallen zijn die een Pythagoreïsch tripel vormen.

> antwoord

Je moet aantonen dat `a^2+b^2=c^2` en dus dat `(m^2 - n^2)^2 + (2mn)^2 = (m^2 + n^2)^2` .

Links van het isgelijkteken:
`(m^2 - n^2)^2 + (2mn)^2 = m^4 + n^4 - 2m^2n^2 + 4m^2n^2 = m^4 + n^4 + 2m^2n^2`
Rechts van het isgelijkteken:
`(m^2 + n^2)^2 = m^4 + n^4 + 2m^2n^2`
Beide uitdrukkingen zijn identiek. Je krijgt inderdaad een drietal getallen dat aan de vergelijking `a^2 + b^2 = c^2` voldoet.
Krijg je zo ook echt alle Pythagoreïsche tripels? (Denk eens aan de veelvouden van een Pythagoreïsch tripel.)

Opgave 7

In Voorbeeld 3 kom je de Pythagoreïsche tripels tegen.

a

Kies `m=17` en `n=12` . Welk Pythagoreïsch tripel levert dat op? Controleer met de vergelijking uit het voorbeeld of het goed gaat.

b

Welke getallen moet je voor `m` en `n` kiezen om het tripel `3, 4, 5` te krijgen?

c

Welke getallen moet je voor `m` en `n` kiezen om het tripel `5, 12, 13` te krijgen?

d

Welke getallen moet je voor `m` en `n` kiezen om het tripel `56, 90, 106` te krijgen?

verder | terug