Soorten getallen > Bewijzen
123456Bewijzen

Antwoorden van de opgaven

Opgave V1
a

. Deelbaar door .

. Deelbaar door .

b

Zie de uitleg.

Opgave 1

Er zijn vier mogelijkheden:

  • en zijn beide even, dan is deelbaar door en dus even;

  • is even en niet, dan is deelbaar door en dus even;

  • is oneven en is even, dan is deelbaar door en dus even;

  • en zijn beide oneven, dan is niet deelbaar door en dus oneven.

Dus de enige mogelijkheid voor om oneven te zijn, is als zowel als oneven zijn.

Opgave 2
a

b

is de voorganger van en de opvolger. Omdat oneven is, zijn die getallen even.

c

Twee opeenvolgende even getallen zijn en . Stel is oneven, dan is met even. Dan is .

is weer even. .

. Deelbaar door 4.

d

en zijn opeenvolgende even getallen. Dat betekent dat één van de twee door deelbaar is en de andere door . Dus is deelbaar door en dus ook.

Opgave 3

Beide zijden delen door mag niet, omdat je dan door deelt. was immers je uitgangspunt!

Opgave 4
a

en , zodat

b

als en priem en verschillend zijn.

Opgave 5
a

is deelbaar door elk getal, want er blijft altijd een rest over. Dus .

b

Twee verschillende priemgetallen hebben geen gemeenschappelijke (priem)factor. Dus de grootste deler van beide is .

Opgave 6

Stel .

Dan kunnen en als volgt worden ontbonden: en .
( kan zijn en en hebben geen gemeenschappelijke factoren).

Daaruit volgt: .

Vul dit in in de te bewijzen formule:

Dat klopt.

Opgave 7
a

is even => is even en is even => is even.

b

Als een oneven getal is, dan is ook oneven. Neem voor het oneven getal waarbij een geheel getal is. Kwadrateren geeft: .
Dus is het kwadraat van een oneven getal inderdaad oneven.
Als een oneven getal is, dan is ook oneven.
Het bewijs is eenvoudig: als is oneven, dan zijn er voor twee mogelijkheden:

  • is even. In de uitwerking staat het bewijs dat het kwadraat van elk even getal ook even is, dus kan niet even zijn.

  • is oneven. Als oneven is, dan is zijn kwadraat ook oneven zoals we net bewezen hebben.

Q.e.d.

c

kan zijn: een drievoud , één meer dan een drievoud , of twee meer dan een drievoud .
Als , dan is ook een drievoud.
Als , dan is geen drievoud.
Als , dan is geen drievoud.
Dus kan alleen een drievoud zijn als dat is.
Q.e.d.

Opgave 8
a

is deelbaar door , dan en dus ook deelbaar door zowel als .

b

Als een getal deelbaar is door en ook door , dan is het getal deelbaar door .

Bewijs: is deelbaar door en , dan dus ook deelbaar door .

c

is deelbaar door is deelbaar door en .

d

is deelbaar door , dan en dus ook deelbaar door zowel als .

e

is deelbaar door en levert een probleem op omdat al deelbaar is door . Bijvoorbeeld het getal is deelbaar door en door , maar niet door .

f

is deelbaar door is deelbaar door en en de (ofwel en hebben geen gemeenschappelijke delers behalve 1).

Opgave 9
a

Neem aan dat de bewering niet waar is. Dan zit er in elk hok maximaal duif. In totaal zitten er dan maximaal duiven in de hokken. Dat klopt niet met het gegeven dat er duiven in de hokken zitten. Dus tegenspraak, dus de bewering is waar.

b

Als er duiven verdeeld moeten worden over hokken, waarbij , dan is er zeker één hok waarin minstens twee duiven zitten.

c

Je kunt maximaal vier getallen kiezen onder de vijf. Je kiest er daarom altijd minstens twee uit . Welke twee je daarvan ook kiest, hun som is altijd minstens .

d

Het aantal andere mensen dat een ieder kent, is een getal uit de serie . Omdat er maar van die getallen zijn en personen precies één zo'n getal krijgen, is er altijd minstens één getal bij dat bij twee personen terecht komt.

Opgave 10
a

Een "bewijs uit het ongerijmde " houdt in dat je ervan uitgaat dat de stelling niet waar is en je vervolgens aantoont dat dit niet kan kloppen omdat er een tegenspraak ontstaat.

b

Neem aan dat de stelling niet waar is. Er bestaat dan een getal dat niet te schrijven is als het product van priemgetallen. Omdat zelf niet priem is, heeft delers, bijvoorbeeld . Voor die getallen en geldt nu dat minstens een van beide niet priem mag zijn, bijvoorbeeld , dus . Voor die getallen en geldt nu dat minstens een van beide niet priem mag zijn, bijvoorbeeld , dus , enzovoort.
Dit proces moet echter na een eindig aantal stappen eindigen, omdat een eindig getal is. In dat geval bestaat echter uit een product van alleen priemgetallen en dat is in strijd met de aanname dat de stelling niet waar is.

Opgave 11
a

en

b

Het

Opgave 12
a

b

Opgave 13
a

b

Het

Opgave 14

.
Omdat , en drie opeenvolgende getallen zijn, is één van deze drie een drievoud. Omdat je deze factor kwadrateert, is het geheel deelbaar door .

Opgave 15
a

Oneven en even wisselen elkaar af en de drievouden vind je bij elk derde getal, als je vanaf begint.

b


Neem nu voor de volgende vijf mogelijkheden: , , , of .
Als , dan is , dus is deelbaar door en ook door en (drie opeenvolgende getallen), dus deelbaar door .

Als dan is , dus is deelbaar door en ook door en (drie opeenvolgende getallen), dus deelbaar door , enzovoort.

Opgave 16
a

Als je van getal , het grootste getal, een aantal keer aftrekt, dan blijft daar een rest over (). Dan geldt waarbij en geen gemeenschappelijke deler kunnen hebben, omdat dan niet de g.g.d. van en was.

Dus hebben en ook als grootste gemeenschappelijke deler.

b

Je begint met het grootste getal. In plaats van gebruik je .

Van kun je aftrekken, rest . , dus de = de .
Van kun je aftrekken, rest . , dus de = de .

Van kun je aftrekken, rest . dus de = de .

Van kun je aftrekken, rest . dus de = de .

c

Van kun je aftrekken, rest . , dus de = de .

Van kun je aftrekken, rest . , dus de = de .

Van kun je aftrekken, rest . , dus de = de .

Van kun je aftrekken, rest . , dus de = de .

Opgave 17

Gebruik het algoritme van Euclides.

, dus de = de
, dus de = de
, dus de = de

, dus de = de

, dus de = de

, dus de = de =

Nu is


.

Je moet dus sprongen van maken en dan sprongen van terug.

Opgave 18

Als dan is dus ook oneven.
Als is oneven dan zijn er twee mogelijkheden: is even of in oneven. En is even klopt niet, want dan moet ook even zijn.

Opgave 19
a

De

b

Het

c

Algoritme van Euklides: , dus sprongen van naar rechts en van naar links.

Opgave 20

Neem bijvoorbeeld dan is een drievoud.
En dan is ook een drievoud.
Dit kun je gemakkelijk uitbreiden naar grotere en kleinere getallen. Je gebruikt steeds het tientallig stelsel.

verder | terug