Soorten getallen

Soorten getallen > Bewijzen

123456Bewijzen

Voorbeeld 2

Bewijs: $a^2$ is even $hArr$ $a$ is even.

> antwoord

Dit zijn eigenlijk twee stellingen die allebei bewezen moeten worden:

Als $a$ een even geheel getal is $rArr$ $a^2$ ook even.
Omdat $a$ een even getal is, is er een geheel getal $n$ waarvoor geldt: $a = 2n$ . Kwadrateren geeft: $a^2 = (2n)^2 = 4n^2 = 2(2n^2)$ .
Dus het kwadraat van een even getal is inderdaad deelbaar door $2$ .
Als $a^2$ een even getal is $rArr$ $a$ ook even.
Het bewijs is: als $a^2$ is even, dan zijn er voor $a$ twee mogelijkheden, namelijk $a$ is even of $a$ is oneven.
Is $a$ een oneven getal: $a = 2n + 1$ . Kwadrateren geeft: $a^2 = (2n + 1)^2 = 4n^2 + 4n + 1 = 2(2n^2 + 2n) + 1$ . Dus het kwadraat van een oneven getal is inderdaad oneven. $a$ kan niet oneven zijn.

Q.e.d.

Opgave 7

In Voorbeeld 2 wordt de gelijkwaardigheid bewezen van $a^2$ is even en $a$ is even.

Over welke twee stellingen heb je het dan?

Bewijs nu zelf: $a^2$ is oneven $⇔$ $a$ is oneven.

Bewijs de juistheid, of toon met een tegenvoorbeeld de onjuistheid aan van de bewering: $a^3$ is drievoud $⇔a$ is drievoud.