Soorten getallen

Soorten getallen > Bewijzen

123456Bewijzen

Uitleg

Bekijk de volgende berekeningen:
$1^2-1=0$
$3^2-1=8$
$5^2-1=24$
$7^2-1=48$ , enzovoort.

Je kunt je afvragen of geldt:
Als $a$ een positief oneven getal is, dan is $a^2 - 1$ deelbaar door $8$ .

Je zoekt een overtuigende redenering.

Je bedenkt: $a = 2n + 1$ , want $a$ is oneven. $n$ is een natuurlijk getal.
Dan is: $a^2 – 1 = (2n + 1)^2 – 1 = 4n^2 + 4n = 4(n^2 + n)= 4n(n + 1)$ .
$a^2 - 1$ is in ieder geval een viervoud. Dat betekent dat $n(n+1)$ deelbaar door $2$ is.

Als $n$ een even getal is, is $n(n+1)$ ook even. Als $n$ een oneven getal is, is $n+1$ even en is $n(n+1)$ opnieuw even. Q.e.d.*

*Q.e.d. staat voor "quod erat demonstrandum" (Latijn voor "wat te bewijzen was" ) en sluit traditiegetrouw een bewijs af.

Opgave 1

Als $n*m$ oneven is, dan zijn $n$ en $m$ oneven.

Onderzoek of dit waar is voor $n$ en $m$ zowel even als oneven en zo ja, probeer dan een overtuigende redenering te vinden.

Opgave 2

Bekijk de stelling die in de uitleg wordt geformuleerd. Er is nog een ander bewijs van deze stelling mogelijk. Denk eraan dat $a$ oneven is.

Ontbind $a^2-1$ in factoren.

Leg uit waarom beide factoren even getallen zijn.

Leg uit waarom één van die twee factoren een viervoud is.

Bewijs hiermee de stelling.

Opgave 3

Bekijk de uitdrukking $x = 1$ als vergelijking.
Trek aan beide zijden $x^2$ af.
Je krijgt: $x - x^2 = 1 - x^2$ .
Ontbinden geeft: $x(1 - x) = (1 - x)(1 + x)$ .
Beide zijden delen door $1 - x$ geeft: $x=1 + x$ .
Omdat $x = 1$ wordt dit: $1 = 1 + 1 = 2$ .
Je ziet hier een overtuigende redenering dat $1 = 2$ .

Waar zit de fout in de redenering?

verder | terug