Soorten getallen > Bewijzen
123456Bewijzen

Theorie

Als je op zoek bent naar eigenschappen van getallen vind je vaak door proberen wel een bepaalde regelmaat. Je krijgt dan een vermoeden.

Veel vermoedens hebben de vorm:
Als bewering waar is, dan is bewering ook waar.
Bijvoorbeeld: als even is, dan is ook even. Je spreekt dan van een implicatie en je schrijft: is even is even.

Om zeker te weten of dit vermoeden altijd geldig is, moet je een redenering geven die dit onomstotelijk aantoont. Zo'n overtuigende redenering noem je een bewijs.

Als een vermoeden is bewezen, is het een stelling geworden.

Er zijn verschillende soorten bewijzen:

  • Een direct bewijs:
    Je laat door een waterdichte redenering zien dat bewering inderdaad uit volgt en dus dat de waarheid van ook betekent dat waar is.

  • Een indirect bewijs of een bewijs uit het ongerijmde:
    Je gaat uit van de waarheid van en je neemt aan dat niet waar is. Vervolgens redeneer je door tot je een tegenspraak krijgt. Dan moet dus waar zijn.

Verder zijn er verschillende soorten argumenten: algebraïsche methodes, figuren, meetkundige methodes, logische redeneringen, enzovoort. Alle wiskundig verantwoorde methodes zijn toegestaan.

Wanneer zowel "als , dan " en "als , dan " waar zijn, dan zijn en gelijkwaardige beweringen, ze zijn equivalent. Je schrijft dan: .
Je bewijst zowel dat als dat .

Onder het kleinste gemeenschappelijke veelvoud (k.g.v.) van twee positieve gehele getallen en versta je het kleinste getal dat deelbaar is door zowel als .

De grootste gemeenschappelijke deler (g.g.d.) van twee positieve gehele getallen en is het grootste gehele positieve getal waardoor zowel als kan worden gedeeld zonder dat er een rest overblijft.

Je schrijft en . Je kunt het k.g.v. en de g.g.d. ook van meer dan twee getallen bepalen.

verder | terug