Eigen antwoord.
Zie de
is de voorganger van en de opvolger. Omdat oneven is, zijn die getallen even.
Van twee opeenvolgende even getallen is altijd één beide deelbaar door 4.
Omdat zowel als even getallen zijn en één van beide een viervoud is, kun je hun product delen door .
Beide zijden delen door `1 - x` mag niet omdat je dan door deelt, immers was je uitgangspunt!
Er zijn vier mogelijkheden:
en zijn beide even, dan is deelbaar door en dus even;
is even een niet, dan is deelbaar door en dus even;
is oneven en is even, dan is deelbaar door en dus even;
en zijn beide oneven, dan is niet deelbaar door `2` .
Dus de enige mogelijkheid voor om oneven te zijn is als zowel als oneven is. Hier kun je ook heel goed een indirect bewijs gebruiken...
Zie
Zie
kan zijn: een drievoud , één meer dan een drievoud , of twee meer dan een drievoud .
Als , dan is ook een drievoud.
Als , dan is geen drievoud.
Als , dan is geen drievoud.
Dus kan alleen een drievoud zijn als dat is. Q.e.d.
is deelbaar door 12, dan en dus ook deelbaar door zowel als 4.
is deelbaar door en `4` , dan dus ook deelbaar door `12` .
is deelbaar door is deelbaar door en `4` .
is deelbaar door `12` , dan en dus ook deelbaar door zowel als 6.
is deelbaar door en levert een probleem op omdat al deelbaar is door `2` . Bijvoorbeeld het getal is deelbaar door en door `2` , maar niet door `12` .
is deelbaar door is deelbaar door en en GGD() = (ofwel en hebben geen gemeenschappelijke delers behalve 1).
Omdat je er van uit gaat dat de stelling niet waar is en dan aantoont dat dit niet kan kloppen omdat er een tegenspraak ontstaat.
Neem aan dat de stelling niet waar is.
Er bestaat dan een getal dat niet is te schrijven als het product van priemgetallen. Omdat zelf niet piem is, heeft delers, bijvoorbeeld .
Voor die getallen en geldt nu dan minstens één van beide niet priem mag zijn, bijvoorbeeld , dus .
Voor die getallen en geldt nu dan minstens één van beide niet priem mag zijn, bijvoorbeeld , dus .
Etcetera...
Dit proces moet echter na een eindig aantal stappen beëndigen omdat een eindig getal is.
In dat geval bestaat echter uit een product van alleen priemgetallen en dat is in strijd met de aanname
dat de stelling niet waar is.
Als de stelling niet waar is, dan zit er in elk of duiven. In totaal zijn er dan maximaal duiven in de hokken geplaatst en dat klopt niet met de aanname dat er duiven in de hokken zitten.
Als er duiven verdeeld moeten worden over hokken, waarbij , dan is er zeker één hok waarin minstens twee duiven zitten.
Je kunt maximaal vier getallen kiezen onder de vijf. Je kiest er derhalve altijd minstens twee uit `5, 6, 7, 8, 9, 10` . Welke twee je daarvan ook kiest altijd is hun som minstens `11` .
Het aantal andere mensen dat een ieder kent is een getal uit de serie `1, 2, 3, ..., 49` . Omdat er maar van die getallen zijn en personen precies één zo'n getal krijgen, is er altijd minstens één getal bij dat bij twee personen terecht komt.
en dus GGD(140,504) = .
en dus `text(GGD)(143,2541) = 11` .
`text(GGD)(a,0)=a` .
`1`
Stel GGD(, dan is waarbij en geen gemeenschappelijke deler kunnen hebben, om dat dan niet de GGD van en was. Dus hebben en ook als grootste gemeenschappelijke deler.
dus GGD(140,504) = GGD(140,84)
dus GGD(14,84) = GGD(84,56)
dus GGD(84,56) = GGD(56,28)
dus
`text(GGD)(56,28) = text(GGD)(28,0) = 28`
.
Ga na, dat je vindt: `text(GGD)(143,2541) = 11` .
dus
`text(GGD)(220,39) = text(GGD)(39,25)`
.
dus
`text(GGD)(39,25) = text(GGD)(25,14)`
.
dus
`text(GGD)(25,14) = text(GGD)(14,11)`
.
dus
`text(GGD)(14,11) = text(GGD)(11,3)`
.
dus
`text(GGD)(11,3) = text(GGD)(3,2)`
.
dus
`text(GGD)(3,2) = text(GGD)(2,1) = 1`
.
Nu is
`1 = 3 - 1 * 2 = 3 - (11 - 3 * 3) = 4 * 3 - 11 = 4 * (14 - 1 * 11) - 11 =`
`= 4 * 14 - 5 * 11 = 4 * 14 - 5 * (25 - 1 * 14) = 9 * 14 - 5 * 25 = 9 * (39 - 1 * 25)
- 5 * 25 =`
`= 9 * 39 - 14 * 25 = 9 * 39 - 14 * (220 - 5 * 39) = 79 * 39 - 14 * 220`
. Je moet dus sprongen van maken en dan sprongen van terug.
.
Omdat , en drie opeenvolgende getallen zijn is één van deze drie een drievoud. Omdat je deze
factor kwadrateert is het geheel deelbaar door
`9`
.
Even en oneven wisselen elkaar af en de drievouden zitten om de drie getallen.
Je hebt nu voor de volgende vijf mogelijkheden: , , , of .
Als , dan is , dus is deelbaar door en ook door en (drie opeenvolgende getallen), dus deelbaar door .
Als dan is , dus is deelbaar door en ook door en (drie opeenvolgende getallen), dus deelbaar door .
Enzovoorts.
`text(GGD)(39,102) = 3`
`text(KGV)(33,91) = 1326`
Gebruik de algoritme van Euklides.
`text(KGV)(5,7) = 35` en `text(KGV)(10,15) = 30` .
en dus KGV(140,504) = .
KGV() als en priem zijn.
Stel GGD() , dan is en waarin en geen gemene delers hebben. Nu is: . Ook is: KGV() = KGV() = (want en hebben geen gemene delers). Dus is KGV(.
Als dan is dus ook oneven.
Als is oneven dan zijn er twee mogelijkheden: is even of in oneven. En is even klopt niet want dan moet ook even zijn.
`text(GGD)(33,91) = 1`
`text(KGV)(33,91) = 3003`
Algoritme van Euklides: , dus sprongen van naar rechts en van naar links.
Neem bijvoorbeeld dan is een drievoud.
En dan is ook een drievoud.
Dit kun je gemakkelijk uitbreiden naar grotere en kleinere getallen. Je gebruikt steeds
het tientallig stelsel.