Als je op zoek bent naar eigenschappen van getallen vind je vaak door proberen wel
bepaalde regelmaat. Je krijgt dan een vermoeden. Veel vermoedens hebben de vorm "als
`A`
, dan
`B`
".
Bijvoorbeeld: als even is, dan is ook even.
Je spreekt dan van een implicatie en je schrijft: is even ⇒ is even.
Maar om zeker te weten of dit vermoeden altijd geldig is moet je een redenering geven
die dit onomstotelijk aantoont. Dat heet een bewijs.
Er zijn verschillende soorten bewijzen:
Een direct bewijs:
Je laat dan door een waterdichte redenering zien dat bewering
`B`
inderdaad uit
`A`
volgt en dus dat de waarheid van
`A`
ook betekent dat
`B`
waar is.
Een indirect bewijs of een bewijs uit het ongerijmde:
Je gaat nu uit van de onwaarheid van
`B`
en je laat zien dat
`A`
dan ook onmogelijk waar kan zijn. Dat is een tegenspraak omdat de waarheid van
`A`
al vast staat en dus de onwaarheid van
`B`
niet kan kloppen:
`B`
moet waar zijn.
Verder zijn er verschillende soorten argumenten: soms gebruik je algebraïsche methoden, soms gebruik je figuren en meetkundige methoden, van alles is denkbaar.
Wanneer zowel "als
`A`
, dan
`B`
" en "als
`B`
, dan
`A`
" waar zijn, dan zijn
`A`
en
`B`
gelijkwaardige beweringen, ze zijn equivalent. Je schrijft dan:
`A iff B`
.
Er zijn dan twee bewijzen nodig, één voor
`A => B`
en één voor
`B => A`
.