`sqrt(3)` is geen geheel getal, dus moet het decimalen hebben. Als je het kwadraat van een getal met een eindig aantal decimalen, waarvan de laatste niet `0` is, berekent, komt er altijd een getal met twee keer zoveel decimalen uit (waarvan de laatste niet `0` is). En dat kan nooit gelijk zijn aan `3` . Dus `sqrt(3)` moet wel een oneindig aantal decimalen hebben.

Voer op de GR √3 in en je krijgt 1,732050808...
Let op: Als je dit probeert met je rekenmachine, zal deze vaak afronden naar `3` . De rekenmachine is niet nauwkeurig!

`3/(1,5)=2`

`(2+1,5)/2=1,75`

`3/(1,75)~~1,714285714...`

enzovoort.

Misschien gaat er periodieke herhaling optreden als je meer decimalen zou kunnen bepalen en dan zou `sqrt(3 )` toch rationaal zijn.

`sqrt(5 )` geeft dezelfde problemen als `sqrt(2 )` , maar `sqrt(4 )` is wel een rationaal getal (zelfs een geheel getal).

Als het getal waaruit je de wortel trekt het kwadraat van een rationaal getal is.

In het bewijs in de uitleg zie je dat `p^2 = 2q^2` . De factor `2` in `2q^2` waar `p^2` aan gelijk moet zijn, geeft aan dat ook `p^2` deelbaar moet zijn door `2` .

Dit is een indirect bewijs, een bewijs uit het ongerijmde.

Neem aan `sqrt(3 )=p/q` met `p` en `q` elk ondeelbaar. Dit geeft `p^2/q^2=3` en dus `p^2=3 q^2` dus moet `p^2` een drievoud zijn. Dit kan alleen als `p` zelf dat is en dan moet `p=3 a` . En dus is dan `(3 a) ^2=3 q^2` en dus `q^2=3 a^2` zodat ook `q^2` en dus `q` een drievoud is. De breuk kan worden vereenvoudigd en dat is in tegenspraak met de aanname.

Nu moet `p^2` een viervoud zijn. Maar dat kan ook het geval zijn als `p` geen viervoud is:

`p=2a` (geen viervoud, bijvoorbeeld `p=6` ), dan `p^2=4a^2` (wel een viervoud).

`24 sqrt(3 )`

`12 +(6 sqrt(3))`

`2/9 sqrt(3)`

`24`

`3 +sqrt(3 )`

`9 +3 sqrt(3 )`

Stel `x+y=a` , waarbij `a` is rationaal en `x` en `y` zijn irrationaal (bewijs uit het ongerijmde).

Als `x=text(-)y` geldt `a=0` . Dat is een rationaal getal. De bewering klopt dus niet.

Met een voorbeeld kun je ook zien dat het niet klopt: `sqrt(2)+text(-)sqrt(2)=0` en dus rationaal.

Stel `a*x=b` , waarbij `a` is rationaal en `x` is irrationaal. Stel dat het product rationaal is, dus `b` is rationaal (bewijs uit het ongerijmde). Stel `a=p/q` en `b=u/v` .

Er ontstaat de volgende vermenigvuldiging: `p/q*x=u/v` dus `x= (uq) / (vp)` , maar dat is weer rationaal. Dat is in strijd met het gestelde dat `x` irrationaal is. Dus het product van een rationaal en een irrationaal getal is irrationaal.

`sqrt(961)=10a+b`
Dan moet gelden:
`(10a+b)^2=961`
`100a^2+20ab+b^2=961`
`100a^2=900` waardoor `a=3`
`20ab+b^2=61`
`a` invullen:
`60b+b^2=61` waardoor `b=1`
`sqrt(961)=10a+b=10*3+1=31`

`100a^2=3600` en `(2*10a+b)b=369`

`a=6` en `12...*...=369`

`a=6` en `b=3` , dus `sqrt(3969)=63` .

of

`3969//3=1323` , `1323//3=441` dus `sqrt(3969)=3sqrt(441)=3*21=63` .

Je begint met het verdelen van het getal in eenheden, honderdtallen, tienduizendtallen, enzovoort, voor de komma en honderdsten, tienduizendsten, enzovoort, achter de decimale komma. Dan begin je met de voorste groep (1 of 2 cijfers) en je bepaalt het getal waarvan het kwadraat daar het dichtst onder zit. Je hebt dan het eerste cijfer van je wortel.
`sqrt(133225 )=sqrt(13 |32 |25 )`

Er zijn `13` tienduizendtallen, en `3^2=9` is het grootste kwadraat onder de `13` , dus je uitkomst begint met het cijfer `3` , dat staat voor `300` .

Omdat je `432` honderdtallen over hebt ( `13-9=4` is de rest), zoek je een getal `b` waarvoor `(300 +b) ^2-300^2` kleiner of gelijk `43200` blijft. En nu gebruik je dat het verschil van die twee kwadraten gelijk is aan `(2 *300 +b)*b` . Dit lukt met `60` : `600*60 +60^2 =39600` .
Er komt `60` bij de uitkomst. Je hebt nu `360` .

Je hebt `432 -396 =36` honderdtallen over. Dit is met de laatste `25` eenheden samen `3625` .
Nu doe je hetzelfde nog eens: je zoekt een getal `b` waarvoor geldt:
`(360 +b) ^2-b^2=(2 *10*36 +b)*b` kleiner of gelijk `3625` blijft. Dit gaat precies goed met `b=5` : `725 *5 =3625` . De wortel komt uit: `sqrt(133225)=365` .

`42 +6 sqrt(7 )`

`77-28 sqrt(7) `

`6/7sqrt(7 )`

`36`

`7/3+1/3sqrt(7 )`

`49 -2 sqrt(7 )`

Bijvoorbeeld `(sqrt(2 )) / (sqrt(2 )) =1` en dus rationaal. De bewering klopt niet.

Stel dat het quotiënt rationaal is. Dan ontstaat de volgende deling met `x` als het irrationale getal, `p/q` als het rationale getal en `u/v` als het rationale antwoord (met `p,q,u,v` natuurlijke getallen): `p/q/x=u/v` dus `x= (vp) / (uq)` , maar dat is weer rationaal. Dit is in strijd met het gestelde dat `x` irrationaal is. Dus het quotiënt van een rationaal en een irrationaal getal is irrationaal.

`sqrt(13 )≈3,605551(2)`

`sqrt(4281346624 )=65432`

`sqrt(178929 )=sqrt(17 |89 |29 )`
Er zijn `17` tienduizendtallen, en `4^2=16` is het grootste kwadraat onder de `17` , dus je uitkomst begint met `400` .
Over zijn `189` honderdtallen: zoek een getal `b` waarvoor `(400 +b) ^2-400^2` kleiner of gelijk `18900` blijft. Je gebruikt `(2 *400 +b)*b` . Als `b=20` geldt `2*400*20 +20^2 =16400` .

Er komt `20` bij de uitkomst. Je hebt nu `420` .
Je hebt `189 -164 =25` honderdtallen over. Dit is is met de laatste `29` eenheden samen `2529` .
Voor `b=3` geldt: `(420 +b) ^2-b^2=(2 *420 +b)*b` gelijk aan `2529` .

De wortel is: `sqrt(178929 )=423` .

`sqrt(152399025 )=sqrt(1|52 |39 |90|25 )`

Er is `1*100` miljoen, en `10^2=100` is het grootste kwadraat, dus je uitkomst begint met `10.000` .

Er zijn `52` miljoenen, en `2 *10.000b +b^2` moet kleiner of gelijk zijn aan `52` miljoen. Dit geldt voor `b=2000` . De uitkomst is `44000000` en de rest is `8000000` . Er komt `2000` bij de uitkomst. Die is nu `12000` .

Er zijn `39` tienduizenden, en `2 *12.000b +b^2` moet kleiner of gelijk zijn aan `8390000` . Dit geldt voor `b=300` . De uitkomst is `7290000` en de rest is `1100000` . Er komt `300` bij de uitkomst. Die is nu `12300` .

Er zijn `90` honderden, en `2 *12.300b +b^2` moet kleiner of gelijk zijn aan `1109000` . Dit geldt voor `b=40` . De uitkomst is `985600` en de rest is `123400` . Er komt `40` bij de uitkomst. Die is nu `12340` .

Er zijn `25` eenheden, en `2 *12.340b +b^2` moet kleiner of gelijk zijn aan `123425` . Dit geldt voor `b=5` . De uitkomst is `985600` en er is geen rest. Er komt `5` bij de uitkomst. Die is nu `12345` .

`11111,1110605556`

`37 sqrt(5 )`

`105 -40 sqrt(5 )`

`8 sqrt(5 )`

`80`

`50/3+10/3sqrt(5 )`

`250 +10 sqrt(5 )`

`1 < sqrt( (1^2+2^2) /2) < 2` en `sqrt( (1^2+2^2) /2)=sqrt(2,5 )` is irrationaal.

`1,123 < sqrt((1,123^2 + 1,124^2)/2) < 1,124` .

`v < sqrt( (v^2+w^2) /2) < w` .