Soorten getallen > Reële getallen
123456Reële getallen

Antwoorden van de opgaven

Opgave V1
a

`c=sqrt(1^2 + 1^2) =sqrt(2) ~~ 1,414213562`

b

Als je `1,414213562` kwadrateert kom je niet op `2` uit. Want `1,414213562^2` heeft `18` decimalen.

b

Daar kom je op deze manier niet achter, want `sqrt(2)` heeft g een herhalend patroon in de decimalen...

Opgave 1
a

`sqrt(3)` is geen geheel getal, dus moet het decimalen hebben. Als je het kwadraat van een getal met een eindig aantal decimalen, waarvan de laatste niet `0` is, berekent, komt er altijd een getal met twee keer zoveel decimalen uit (waarvan de laatste niet `0` is). En dat kan nooit gelijk zijn aan `3` . Dus `sqrt(3)` moet wel een oneindig aantal decimalen hebben.

Voer op de GR √3 in en je krijgt 1,732050808...
Let op: Als je dit probeert met je rekenmachine, zal deze vaak afronden naar `3` . De rekenmachine is niet nauwkeurig!

`3/(1,5)=2`

`(2+1,5)/2=1,75`

`3/(1,75)~~1,714285714...`

enzovoort.

b

Misschien gaat er periodieke herhaling optreden als je meer decimalen zou kunnen bepalen en dan zou `sqrt(3 )` toch rationaal zijn.

c

`sqrt(5 )` geeft dezelfde problemen als `sqrt(2 )` , maar `sqrt(4 )` is wel een rationaal getal (zelfs een geheel getal).

d

Als het getal waaruit je de wortel trekt het kwadraat van een rationaal getal is.

Opgave 2

Voer op de GR `sqrt(2)` in en je krijgt `1 ,414213562` . Vervolgens trek je van het antwoord `1` af. Je krijgt dan achteraan de volgende decimaal in beeld (een `4` ). Vermenigvuldig dit antwoord met `10` en trek daar `4` van af (het voorste cijfer) en je krijgt weer een decimaal (... `4` op het eind wordt ... `37` ). Herhaal dit proces (vermenigvuldig met `10` en trek het voorste cijfer er van af, enzovoort.
`sqrt(2 )≈1 ,4142135623731` .
Overigens houdt het hierna meestal wel op, en van de juistheid van de laatste decimalen kun je ook niet zeker zijn. De rekenmachine rond het getal namelijk ook af na een zeker aantal decimalen.

Opgave 3
a

In het bewijs in de uitleg zie je dat `p^2 = 2q^2` . De factor `2` in `2q^2` waar `p^2` aan gelijk moet zijn, geeft aan dat ook `p^2` deelbaar moet zijn door `2` .

b

Dit is een indirect bewijs, een bewijs uit het ongerijmde.

c

Neem aan `sqrt(3 )=p/q` met `p` en `q` elk ondeelbaar. Dit geeft `p^2/q^2=3` en dus `p^2=3 q^2` dus moet `p^2` een drievoud zijn. Dit kan alleen als `p` zelf dat is en dan moet `p=3 a` . En dus is dan `(3 a) ^2=3 q^2` en dus `q^2=3 a^2` zodat ook `q^2` en dus `q` een drievoud is. De breuk kan worden vereenvoudigd en dat is in tegenspraak met de aanname.

d

Nu moet `p^2` een viervoud zijn. Maar dat kan ook het geval zijn als `p` geen viervoud is:

`p=2a` (geen viervoud, bijvoorbeeld `p=6` ), dan `p^2=4a^2` (wel een viervoud).

Opgave 4
a

`24 sqrt(3 )`

b

`12 +(6 sqrt(3))`

c

`2/9 sqrt(3)`

d

`24`

e

`3 +sqrt(3 )`

f

`9 +3 sqrt(3 )`

Opgave 5
a

Stel `x+y=a` , waarbij `a` is rationaal en `x` en `y` zijn irrationaal (bewijs uit het ongerijmde).

Als `x=text(-)y` geldt `a=0` . Dat is een rationaal getal. De bewering klopt dus niet.

Met een voorbeeld kun je ook zien dat het niet klopt: `sqrt(2)+text(-)sqrt(2)=0` en dus rationaal.

b

Stel `a*x=b` , waarbij `a` is rationaal en `x` is irrationaal. Stel dat het product rationaal is, dus `b` is rationaal (bewijs uit het ongerijmde). Stel `a=p/q` en `b=u/v` .

Er ontstaat de volgende vermenigvuldiging: `p/q*x=u/v` dus `x= (uq) / (vp)` , maar dat is weer rationaal. Dat is in strijd met het gestelde dat `x` irrationaal is. Dus het product van een rationaal en een irrationaal getal is irrationaal.

Opgave 6
a

`sqrt(961)=10a+b`
Dan moet gelden:
`(10a+b)^2=961`
`100a^2+20ab+b^2=961`
`100a^2=900` waardoor `a=3`
`20ab+b^2=61`
`a` invullen:
`60b+b^2=61` waardoor `b=1`
`sqrt(961)=10a+b=10*3+1=31`

b

`100a^2=3600` en `(2*10a+b)b=369`

`a=6` en `12...*...=369`

`a=6` en `b=3` , dus `sqrt(3969)=63`

of

`3969//3=1323` , `1323//3=441` dus `sqrt(3969)=3sqrt(441)=3*21=63`

c

Je begint met het verdelen van het getal in eenheden, honderdtallen, tienduizendtallen, enzovoort, voor de komma en honderdsten, tienduizendsten, enzovoort, achter de decimale komma. Dan begin je met de voorste groep (1 of 2 cijfers) en je bepaalt het getal waarvan het kwadraat daar het dichtst onder zit. Je hebt dan het eerste cijfer van je wortel.
`sqrt(133225 )=sqrt(13 |32 |25 )`

Er zijn `13` tienduizendtallen, en `3^2=9` is het grootste kwadraat onder de `13` , dus je uitkomst begint met het cijfer 3, dat staat voor 300.

Omdat je `432` honderdtallen over hebt ( `13-9=4` is de rest), zoek je een getal `b` waarvoor `(300 +b) ^2-300^2` kleiner of gelijk `43200` blijft. En nu gebruik je dat het verschil van die twee kwadraten gelijk is aan `(2 *300 +b)*b` . Dit lukt met `60` : `600*60 +60^2 =39600`
Er komt `60` bij de uitkomst. Je hebt nu `360` .

Je hebt `432 -396 =36` honderdtallen over. Dit is met de laatste `25` eenheden samen `3625` .
Nu doe je hetzelfde nog eens: je zoekt een getal `b` waarvoor geldt:
`(360 +b) ^2-b^2=(2 *10*36 +b)*b` kleiner of gelijk `3625` blijft. Dit gaat precies goed met `b=5` : `725 *5 =3625` . De wortel komt uit: `sqrt(133225)=365` .

Opgave 8
a

`423`

b

`sqrt(152399025 )=sqrt(1|52 |39 |90|25 )`

Er is `1*100` miljoen, en `10^2=100` is het grootste kwadraat, dus je uitkomst begint met `10.000` .

Er zijn `52` miljoenen, en `2 *10.000b +b^2` moet kleiner of gelijk zijn aan `52` miljoen. Dit geldt voor `b=2000` . De uitkomst is `44000000` en de rest is `8000000` . Er komt `2000` bij de uitkomst. Die is nu `12000` .

Er zijn `39` tienduizenden, en `2 *12.000b +b^2` moet kleiner of gelijk zijn aan `8390000` . Dit geldt voor `b=300` . De uitkomst is `7290000` en de rest is `1100000` . Er komt `300` bij de uitkomst. Die is nu `12300` .

Er zijn `90` honderden, en `2 *12.300b +b^2` moet kleiner of gelijk zijn aan `1109000` . Dit geldt voor `b=40` . De uitkomst is `985600` en de rest is `123400` . Er komt `40` bij de uitkomst. Die is nu `12340` .

Er zijn `25` eenheden, en `2 *12.340b +b^2` moet kleiner of gelijk zijn aan `123425` . Dit geldt voor `b=5` . De uitkomst is `985600` en er is geen rest. Er komt `5` bij de uitkomst. Die is nu `12345` .

c

`11111.1110605556`

Opgave 9

Neem aan `sqrt(7 )=p/q` , dus een rationaal getal, met `p` en `q` niet verder deelbaar. Dit geeft `(p^2) / (q^2) =7` en dus `p^2=7 q^2` dus moet `p^2` een zevenvoud zijn. Dit kan alleen als `p` zelf dat is en dan moet `p=7 a` . En dus is dan `(7 a) ^2=7 q^2` en dus `q^2=7 a^2` zodat ook `q^2` en dus `q` een zevenvoud is. De breuk kan worden vereenvoudigd en dat is in tegenspraak met de aanname.

Opgave 10
a

`42 +6 sqrt(7 )`

b

`77-28 sqrt(7) `

c

`6/7sqrt(7 )`

d

`36`

e

`7/3+1/3sqrt(7 )`

f

`49 -2 sqrt(7 )`

Opgave 11

Neem aan `root3 (2 )=p/q` met `p` en `q` ondeelbaar. Dit geeft `(p^3) / (q^3) =2` en dus `p^3=2 q^3` dus moet `p^3` een even getal zijn. Dit kan alleen als `p` zelf dat is en dan moet `p=2 a` . En dus is dan `(2 a) ^3=2 q^3` en dus `q^3=4 a^3` zodat ook `q^3` en dus `q` een even getal is. De breuk kan worden vereenvoudigd en dat is in tegenspraak met de aanname.

Opgave 12
a

Bijvoorbeeld `(sqrt(2 )) / (sqrt(2 )) =1` en dus rationaal. De bewering klopt niet.

b

Stel dat het quotiënt rationaal is. Dan ontstaat de volgende deling met `x` als het irrationale getal, `p/q` als het rationale getal en `u/v` als het rationale antwoord (met `p,q,u,v` natuurlijke getallen): `p/q/x=u/v` dus `x= (vp) / (uq)` , maar dat is weer rationaal. Dit is in strijd met het gestelde dat `x` irrationaal is. Dus het quotiënt van een rationaal en een irrationaal getal is irrationaal.

Opgave 13
a

`sqrt(13 )≈3,605551(2)`

b

`sqrt(4281346624 )=65432`

Opgave 14

Welke van de volgende getallen is het grootst?

`sqrt (20) *sqrt (13)`

`sqrt (20)*13`

`20*sqrt (13)`

`sqrt (201)*3`

`sqrt (2013)`

Opgave 15
a

Nee, het product van twee irrationale getallen kan rationaal zijn: `sqrt(2 )*sqrt(8 )=sqrt(16 )=4` .

b

Neem aan `sqrt(6 )=p/q` met `p` en `q` zo klein mogelijk. Dit geeft `p^2/q^2=6` en dus `p^2=6 q^2` dus moet `p^2` een zesvoud zijn. Dit kan alleen als `p` zelf dat is en dan moet `p=6 a` . En dus is dan `(6 a) ^2=6 q^2` en dus `q^2=6 a^2` zodat ook `q^2` en dus `q` een zesvoud is. De breuk kan worden vereenvoudigd en dat is in tegenspraak met de aanname.

Opgave 16

`n` is geen kwadraat. Stel `n=k*m^2` waarbij in `k` alle priemfactoren maar één keer voorkomen.
`sqrt(n)=m*sqrt(k)` . Je hoeft nu alleen maar aan te tonen dat `sqrt(k)` irrationaal is. Als `p` een priemfactor is van `k` , dan geldt `k=p*r` , waarbij `r` niet deelbaar is door `p` . Stel `sqrt (k)=a/b` , waarin `a` en `b` geen delers gemeen hebben.
Dan `k=a^2/b^2` , dus `b^2*k=a^2` . Omdat `k=p*r` geldt `b^2*p*r=a^2` , dus `a^2` is deelbaar door `p` . Omdat `p` een priemgetal is moet `a` ook deelbaar zijn door `p` : `a=p*c` . Omdat `r` niet deelbaar is door `p` moet `b^2` dus ook `b` deelbaar zijn door `p` . Zowel `a` als `b` zijn deelbaar door `p` . Dit is in tegenspraak met het in het begin gestelde.

Opgave 17

Neem aan `sqrt(5 )=p/q` met `p` en `q` zo klein mogelijk. Dit geeft `p^2/q^2=5` en dus `p^2=5 q^2` dus moet `p^2` een vijfvoud zijn. Dit kan alleen als `p` zelf dat is en dan moet `p=5 a` . En dus is dan `((5 a)) ^2=5 q^2` en dus `q^2=5 a^2` zodat ook `q^2` en dus `q` een vijfvoud is. De breuk kan worden vereenvoudigd en dat is in tegenspraak met de aanname.

Opgave 18
a

`37 sqrt(5 )`

b

`105 -40 sqrt(5 )`

c

`8 sqrt(5 )`

d

`80`

e

`50/3+10/3sqrt(5 )`

f

`250 +10 sqrt(5 )`

Opgave 19
a

`1 < sqrt( ((1^2+2^2)) /2) < 2` en `sqrt( ((1^2+2^2)) /2)=sqrt(2,5 )` is irrationaal.

b

`1,123 < sqrt((1,123^2 + 1,124^2)/2) < 1,124` .

c

`v < sqrt(( ((v^2+w^2)) /2)) < w` .

verder | terug