Soorten getallen > Reële getallen
123456Reële getallen

Antwoorden van de opgaven

Opgave V1
a

b

Als je kwadrateert kom je niet op uit. Want heeft decimalen.

b

Daar kom je op deze manier niet achter, want heeft g een herhalend patroon in de decimalen...

Opgave 1
a

is geen geheel getal, dus moet het decimalen hebben. Als je het kwadraat van een getal met een eindig aantal decimalen, waarvan de laatste niet is, berekent, komt er altijd een getal met twee keer zoveel decimalen uit (waarvan de laatste niet is). En dat kan nooit gelijk zijn aan . Dus moet wel een oneindig aantal decimalen hebben.

Voer op de GR √3 in en je krijgt 1,732050808...
Let op: Als je dit probeert met je rekenmachine, zal deze vaak afronden naar . De rekenmachine is niet nauwkeurig!

enzovoort.

b

Misschien gaat er periodieke herhaling optreden als je meer decimalen zou kunnen bepalen en dan zou toch rationaal zijn.

c

geeft dezelfde problemen als , maar is wel een rationaal getal (zelfs een geheel getal).

d

Als het getal waaruit je de wortel trekt het kwadraat van een rationaal getal is.

Opgave 2

Voer op de GR in en je krijgt . Vervolgens trek je van het antwoord af. Je krijgt dan achteraan de volgende decimaal in beeld (een ). Vermenigvuldig dit antwoord met en trek daar van af (het voorste cijfer) en je krijgt weer een decimaal (... op het eind wordt ... ). Herhaal dit proces (vermenigvuldig met en trek het voorste cijfer er van af, enzovoort.
.
Overigens houdt het hierna meestal wel op, en van de juistheid van de laatste decimalen kun je ook niet zeker zijn. De rekenmachine rond het getal namelijk ook af na een zeker aantal decimalen.

Opgave 3
a

In het bewijs in de uitleg zie je dat . De factor in waar aan gelijk moet zijn, geeft aan dat ook deelbaar moet zijn door .

b

Dit is een indirect bewijs, een bewijs uit het ongerijmde.

c

Neem aan met en elk ondeelbaar. Dit geeft en dus dus moet een drievoud zijn. Dit kan alleen als zelf dat is en dan moet . En dus is dan en dus zodat ook en dus een drievoud is. De breuk kan worden vereenvoudigd en dat is in tegenspraak met de aanname.

d

Nu moet een viervoud zijn. Maar dat kan ook het geval zijn als geen viervoud is:

(geen viervoud, bijvoorbeeld ), dan (wel een viervoud).

Opgave 4
a

b

c

d

e

f

Opgave 5
a

Stel , waarbij is rationaal en en zijn irrationaal (bewijs uit het ongerijmde).

Als geldt . Dat is een rationaal getal. De bewering klopt dus niet.

Met een voorbeeld kun je ook zien dat het niet klopt: en dus rationaal.

b

Stel , waarbij is rationaal en is irrationaal. Stel dat het product rationaal is, dus is rationaal (bewijs uit het ongerijmde). Stel en .

Er ontstaat de volgende vermenigvuldiging: dus , maar dat is weer rationaal. Dat is in strijd met het gestelde dat irrationaal is. Dus het product van een rationaal en een irrationaal getal is irrationaal.

Opgave 6
a


Dan moet gelden:


waardoor

invullen:
waardoor

b

en

en

en , dus

of

, dus

c

Je begint met het verdelen van het getal in eenheden, honderdtallen, tienduizendtallen, enzovoort, voor de komma en honderdsten, tienduizendsten, enzovoort, achter de decimale komma. Dan begin je met de voorste groep (1 of 2 cijfers) en je bepaalt het getal waarvan het kwadraat daar het dichtst onder zit. Je hebt dan het eerste cijfer van je wortel.

Er zijn tienduizendtallen, en is het grootste kwadraat onder de , dus je uitkomst begint met het cijfer 3, dat staat voor 300.

Omdat je honderdtallen over hebt ( is de rest), zoek je een getal waarvoor kleiner of gelijk blijft. En nu gebruik je dat het verschil van die twee kwadraten gelijk is aan . Dit lukt met :
Er komt bij de uitkomst. Je hebt nu .

Je hebt honderdtallen over. Dit is met de laatste eenheden samen .
Nu doe je hetzelfde nog eens: je zoekt een getal waarvoor geldt:
kleiner of gelijk blijft. Dit gaat precies goed met : . De wortel komt uit: .

Opgave 7

Neem aan , dus een rationaal getal, met en niet verder deelbaar. Dit geeft en dus dus moet een zevenvoud zijn. Dit kan alleen als zelf dat is en dan moet . En dus is dan en dus zodat ook en dus een zevenvoud is. De breuk kan worden vereenvoudigd en dat is in tegenspraak met de aanname.

Opgave 8
a

b

c

d

e

f

Opgave 9

Neem aan met en ondeelbaar. Dit geeft en dus dus moet een even getal zijn. Dit kan alleen als zelf dat is en dan moet . En dus is dan en dus zodat ook en dus een even getal is. De breuk kan worden vereenvoudigd en dat is in tegenspraak met de aanname.

Opgave 10
a

Bijvoorbeeld en dus rationaal. De bewering klopt niet.

b

Stel dat het quotiënt rationaal is. Dan ontstaat de volgende deling met als het irrationale getal, als het rationale getal en als het rationale antwoord (met natuurlijke getallen): dus , maar dat is weer rationaal. Dit is in strijd met het gestelde dat irrationaal is. Dus het quotiënt van een rationaal en een irrationaal getal is irrationaal.

Opgave 11
a

b

Opgave 12Willy Wortel
Willy Wortel
a


Er zijn tienduizendtallen, en is het grootste kwadraat onder de , dus je uitkomst begint met .
Over zijn honderdtallen: zoek een getal waarvoor kleiner of gelijk blijft. Je gebruikt . Als geldt

Er komt bij de uitkomst. Je hebt nu .
Je hebt honderdtallen over. Dit is is met de laatste eenheden samen .
Voor geldt: gelijk aan .

De wortel is: .

b

Er is miljoen, en is het grootste kwadraat, dus je uitkomst begint met .

Er zijn miljoenen, en moet kleiner of gelijk zijn aan miljoen. Dit geldt voor . De uitkomst is en de rest is . Er komt bij de uitkomst. Die is nu .

Er zijn tienduizenden, en moet kleiner of gelijk zijn aan . Dit geldt voor . De uitkomst is en de rest is . Er komt bij de uitkomst. Die is nu .

Er zijn honderden, en moet kleiner of gelijk zijn aan . Dit geldt voor . De uitkomst is en de rest is . Er komt bij de uitkomst. Die is nu .

Er zijn eenheden, en moet kleiner of gelijk zijn aan . Dit geldt voor . De uitkomst is en er is geen rest. Er komt bij de uitkomst. Die is nu .

c

Opgave 13

Neem aan met en zo klein mogelijk. Dit geeft en dus dus moet een vijfvoud zijn. Dit kan alleen als zelf dat is en dan moet . En dus is dan en dus zodat ook en dus een vijfvoud is. De breuk kan worden vereenvoudigd en dat is in tegenspraak met de aanname.

Opgave 14
a

b

c

d

e

f

Opgave 15
a

en is irrationaal.

b

.

c

.

verder | terug