Soorten getallen > Reële getallen
123456Reële getallen

Uitleg

De hypotenusa (schuine zijde) van een rechthoekige driehoek met rechthoekszijden heeft een lengte van ( in de afbeelding).
Hoe kun je dit getal als breuk of decimaal getal schrijven?
Dit deden de Babyloniërs in de Oudheid op de volgende manier: Ze probeerden van een vierkant met oppervlakte de lengte van de zijden te berekenen. Ze begonnen met een rechthoek met oppervlakte . Met een zijde van bijvoorbeeld moet de andere zijde zijn. Van beide getallen neem je het gemiddelde, ongeveer . Dit getal gebruik je als lengte van de ene zijde, de andere zijde is net zoals bij de eerste poging . Het gemiddelde van deze twee getallen is , enzovoort.
Op deze manier vond men de waarde van in wel tien decimalen nauwkeurig.

Maar omdat er geen herhaling van decimalen optrad, ontstond het vermoeden dat geen rationaal getal is, wat betekent dat het niet als breuk te schrijven is.
En inderdaad werd al in de Oudheid het bewijs geleverd dat geen rationaal getal is.

Opgave 1

In de uitleg wordt het getal nader bekeken. We kijken nu naar .

a

Waarom kun je nooit precies als decimaal getal schrijven? (Tip: bedenk wat er gebeurt als je een getal met een eindig aantal decimalen kwadrateert). Benader met de grafische rekenmachine. Als je tijd hebt, probeer het dan eens op de manier uit de Oudheid.

b

Waarom weet je op grond hiervan nog steeds niet zeker dat geen rationaal getal kan zijn?

c

En hoe zit dat met bijvoorbeeld ? En met ?

d

Wanneer is de wortel uit een getal in ieder geval een rationaal getal?

Opgave 2

Je kunt met behulp van de rekenmachine wel meer (verborgen) decimalen van wortels te zien krijgen.
Verzin een manier om dit te doen en bepaal in dertien decimalen nauwkeurig.
Treedt er herhaling van de decimalen op?

verder | terug