Soorten getallen > Reële getallen
123456Reële getallen

Uitleg

De hypotenusa (schuine zijde) van een rechthoekige driehoek met rechthoekszijden `1` heeft een lengte van `sqrt(2)` ( `c` in de afbeelding).
Hoe kun je dit getal als breuk of decimaal getal schrijven?
Dit deden de Babyloniërs in de Oudheid op de volgende manier: Ze probeerden van een vierkant met oppervlakte `2` de lengte van de zijden te berekenen. Ze begonnen met een rechthoek met oppervlakte `2` . Met een zijde van bijvoorbeeld `1,5` moet de andere zijde `2 / (1,5) = 1,333...` zijn. Van beide getallen neem je het gemiddelde, ongeveer `1,41667` . Dit getal gebruik je als lengte van de ene zijde, de andere zijde is net zoals bij de eerste poging `2/(1,41667)` . Het gemiddelde van deze twee getallen is `1,41422` , enzovoort.
Op deze manier vond men de waarde van `sqrt(2)` in wel tien decimalen nauwkeurig.

Maar omdat er geen herhaling van decimalen optrad, ontstond het vermoeden dat `sqrt(2)` geen rationaal getal is, wat betekent dat het niet als breuk te schrijven is.
En inderdaad werd al in de Oudheid het bewijs geleverd dat `sqrt(2)` geen rationaal getal is.

Opgave 1

In de uitleg wordt het getal `sqrt(2 )` nader bekeken. We kijken nu naar `sqrt(3)` .

a

Waarom kun je `sqrt(3)` nooit precies als decimaal getal schrijven? (Tip: bedenk wat er gebeurt als je een getal met een eindig aantal decimalen kwadrateert). Benader `sqrt(3)` met de grafische rekenmachine. Als je tijd hebt, probeer het dan eens op de manier uit de Oudheid.

b

Waarom weet je op grond hiervan nog steeds niet zeker dat `sqrt(3 )` geen rationaal getal kan zijn?

c

En hoe zit dat met bijvoorbeeld `sqrt(4 )` ? En met `sqrt(5 )` ?

d

Wanneer is de wortel uit een getal in ieder geval een rationaal getal?

Opgave 2

Je kunt met behulp van de rekenmachine wel meer (verborgen) decimalen van wortels te zien krijgen.
Verzin een manier om dit te doen en bepaal `sqrt(2 )` in dertien decimalen nauwkeurig.
Treedt er herhaling van de decimalen op?

verder | terug