Soorten getallen > Reële getallen
123456Reële getallen

Uitleg

Het getal kun je niet als breuk schrijven en is dus geen rationaal getal. Dat kun je bewijzen met een bewijs uit het ongerijmde.

Stel is wel rationaal en is wel te schrijven als rationaal getal:

waarin een niet te vereenvoudigen breuk van twee gehele getallen is.
Dan is: en dus .
Dus moet deelbaar zijn door .
Dit kan alleen als deelbaar is door . Dus .
En dan is , zodat en .
Dus is ook deelbaar door en is deelbaar door , dat wil zeggen .
Maar dan is . Kennelijk is de breuk die voorstelt dan altijd te vereenvoudigen. Maar je ging ervan uit dat dit niet het geval was. Er ontstaat dus een tegenspraak. Daarom kan de aanname dat als breuk geschreven kan worden niet juist zijn.

Q.e.d.

Opgave 3

In de uitleg is bewezen dat geen rationaal getal is. Bekijk dat bewijs.

a

In dit bewijs staat: dus moet deelbaar zijn door . Dit kan alleen als deelbaar is door . Waarom is dat zo?

b

Van wat voor type bewijs is hier sprake?

c

Formuleer een vergelijkbaar bewijs voor de irrationaliteit van .

d

Stel, je wilt de irrationaliteit van op dezelfde manier bewijzen. Wat gaat er fout?

verder | terug