Soorten getallen > Reële getallen
123456Reële getallen

Uitleg

Het getal `sqrt (2)` kun je niet als breuk schrijven en is dus geen rationaal getal. Dat kun je bewijzen met een bewijs uit het ongerijmde.

Stel `sqrt(2)` is wel rationaal en is wel te schrijven als rationaal getal:

`sqrt(2) = p/q` waarin `p/q` een niet te vereenvoudigen breuk van twee gehele getallen is.
Dan is: `2 = (p^2)/(q^2)` en dus `p^2 = 2q^2` .
Dus `p^2` moet deelbaar zijn door `2` .
Dit kan alleen als `p` deelbaar is door `2` . Dus `p = 2a` .
En dan is `(2a)^2 = 2q^2` , zodat `4a^2 = 2q^2` en `2a^2 = q^2` .
Dus is ook `q^2` deelbaar door `2` en is `q` deelbaar door `2` , dat wil zeggen `q = 2b` .
Maar dan is `sqrt(2) = p/q = (2a)/(2b) = a/b` . Kennelijk is de breuk die `sqrt(2)` voorstelt dan altijd te vereenvoudigen. Maar je ging ervan uit dat dit niet het geval was. Er ontstaat dus een tegenspraak. Daarom kan de aanname dat `sqrt(2)` als breuk geschreven kan worden niet juist zijn.

Q.e.d.

Opgave 3

In de uitleg is bewezen dat `sqrt(2 )` geen rationaal getal is. Bekijk dat bewijs.

a

In dit bewijs staat: dus `p^2` moet deelbaar zijn door `2` . Dit kan alleen als `p` deelbaar is door `2` . Waarom is dat zo?

b

Van wat voor type bewijs is hier sprake?

c

Formuleer een vergelijkbaar bewijs voor de irrationaliteit van `sqrt(3 )` .

d

Stel, je wilt de irrationaliteit van `sqrt(4 )` op dezelfde manier bewijzen. Wat gaat er fout?

verder | terug