Soorten getallen > Het dominoprincipe
123456Het dominoprincipe

Antwoorden van de opgaven

Opgave V1
a

Zelf onderzoeken.

b

Opgave 1
a

Je bewijst het vermoeden voor een bepaalde waarde van , meestal . Vervolgens toon je aan dat als het vermoeden voor een bepaalde waar is, dat het dan ook voor de opvolger van waar is. Daardoor ontstaat het effect van een rij omvallende dominostenen: de stelling is waar voor en daarom ook voor en daarom ook voor , enzovoort.

b

Bij vermoedens waar opvolgende aantallen worden toegepast.

c

Uit
volgt:
.

d

Opgave 2

Je krijgt dan keer om op te tellen. Het totaal wordt dan , maar dan heb je het dubbele van de rij getallen. Daarom moet je nog met vermenigvuldigen.

Opgave 3
a

en . Beide berekeningen zijn aan elkaar gelijk.

en . Beide berekeningen zijn aan elkaar gelijk.

en . Beide berekeningen zijn aan elkaar gelijk.

b

c

Stelling:
Bewijs:
De stelling geldt voor : .
Neem aan dat de stelling voor geldt.

Voor geldt dan

. Conclusie: de stelling geldt voor en als hij voor geldt, dan geldt hij ook voor .

Q.e.d.

Opgave 4
a

Bij twee snijdende lijnen zijn er vlakdelen.

b

Bij drie lijnen die elkaar twee aan twee snijden, zijn er vlakdelen.

c

Dan komen er, als je een lijn toevoegt, minder nieuwe vlakdelen bij.

d

e

De lijn snijdt elke andere lijn en maakt daardoor nieuwe vlakdelen waarvan er elkaar overlappen, die hebben we dus te veel geteld. . Er komen dus inderdaad nieuwe vlakdelen bij.

f

Inductiestap:

Opgave 5
a

b

c

d

Vanuit elk punt een lijnstuk naar een ander punt: . De zijden eraf trekken:

e

Voor klopt de stelling: het aantal diagonalen is .
Stel de stelling klopt voor , dan geldt voor dat er diagonalen bijkomen. Neem bijvoorbeeld een regelmatige vierhoek (). Deze heeft twee diagonalen, en . Je kunt nu een vijfhoek tekenen, maar dan nog met de twee diagonalen en van de vierhoek. Je ziet dat er vanuit punt twee nieuwe diagonalen bijkomen. Namelijk naar alle andere punten, behalve zijn buurpunten en . Dat zijn er dus . Verder zie je ook dat er 1 diagonaal bij komt, tussen de twee buurpunten en . Bij elkaar dus .

Dus wordt het aantal diagonalen dan:

.

Dit betekent dat de stelling klopt voor als hij voor klopt.
Q.e.d.

Opgave 6
a

Beide zijden uitrekenen en vergelijken.

b

c

Stelling:
Bewijs:
Klopt onder andere voor , zie a.
Stel de bewering klopt voor , dan geldt voor :

Dit betekent dat de stelling klopt voor als deze voor klopt.
Q.e.d.

Opgave 7

De stelling klopt voor : .
Neem aan dat de stelling voor klopt, dan geldt voor :


Dit betekent dat de stelling klopt voor als deze voor klopt.
Q.e.d.

Opgave 8


is deelbaar door , dus als deelbaar is door , dan is het verschil van die twee getallen ook deelbaar door , dus is dan deelbaar door .

Dan moet deelbaar zijn door en door .

en zijn beide oneven, dus hun verschil is even en dus deelbaar door .

Nu de deelbaarheid door nog. zou een bijzonder geval kunnen zijn van , namelijk met

Bewijs:

Voor klopt het.

Als klopt dat deelbaar is door , is dat dan ook?



En inderdaad: Als het eerste deel deelbaar is door , dan klopt het, want het tweede deel is ook deelbaar door .

Dus is deelbaar door .

Opgave 9

Stap 1: voor geldt: . Dit is deelbaar door en dat klopt dus.

Stap 2: ervan uitgaande dat deelbaar is door , moet bewezen worden dat dit ook geldt voor .

, en hiervoor geldt dat deelbaar is door en deelbaar is door . Dus is deelbaar door en dus is deelbaar door .
Q.e.d.

Opgave 10

Voor geldt: en , zodat het gestelde klopt voor .
Ervan uitgaande dat het voor elke klopt, gaan we onderzoeken of het ook voor klopt.

Volgens eerder gestelde geldt:


Dus
Q.e.d.

Opgave 11


Voor geldt: . Dat is een zevenvoud.
Stel voor n geldt het gestelde, dan moet het voor n+1 ook gelden.
Voor krijg je .
Dit is: .

Het eerste deel () is een zevenvoud, het tweede deel is twee keer een zevenvoud en dus ook weer een zevenvoud.
Q.e.d.

Opgave 12Graankorrels op het schaakbord
Graankorrels op het schaakbord
a

b

c

d

Je moet bewijzen:

De stelling geldt voor :
klopt inderdaad.

Als de stelling geldt voor de stelling geldt voor schrijf je als volgt:
Als geldt
dan moet ook gelden
.
Je bewijst dit door in de eerste uitdrukking aan beide kanten op te tellen. Zo ontstaat een uitdrukking waarvan het linkerdeel gelijk is aan de tweede uitdrukking hierboven.
.
Daarna toon je aan dat het rechtse deel hiervan gelijk is aan het rechtse deel van de tweede uitdrukking hierboven.

Q.e.d.

e

Ja.

Opgave 13Wortels construeren
Wortels construeren
a

Voor construeer je een rechthoekige driehoek met rechthoekszijden van en . De hypotenusa is dan .

b

Voor construeer je een rechthoekige driehoek met rechthoekszijden van en . De hypotenusa is dan .

c

De stelling klopt voor (zie de uitwerking bij a).
Neem aan dat de stelling klopt voor . Dan heb je een lijnstuk met lengte kunnen construeren. Daarop construeer je een rechthoekige driehoek met en als rechthoekszijden. De hypotenusa van die driehoek is (Pythagoras).
Dit betekent dat de stelling klopt voor als hij voor klopt.
Q.e.d.

Opgave 14

De stelling klopt voor : .
Neem aan dat de stelling voor klopt, dan geldt voor : .
Dit betekent dat de stelling klopt voor als hij voor klopt.
Q.e.d.

Opgave 15

De stelling geldt voor : de hoekensom van een driehoek is °.
Neem aan dat de stelling voor klopt, dan geldt voor dat de hoekensom gelijk is aan ° + ° = °.
Dit betekent dat de stelling klopt voor als hij voor klopt.
Q.e.d.
Dat de hoeken kleiner dan ° moeten zijn wordt duidelijk uit het feit dat er bij de overgang van naar precies één driehoek bij moet komen. Dat gaat niet zonder meer op als je "inspringing" toelaat.

verder | terug