Soorten getallen > Het dominoprincipeToepassen
Ibn Kallikan (omstreeks 1256) heeft het verhaal van Sissa ben Dahir opgetekend. Voor de uitvinding van het schaakspel vroeg Sissa aan de Indiase koning Shirham de hoeveelheid graan die verzameld zou worden als men op het eerste veld van het schaakbord één graankorrel zou leggen, op het tweede het dubbele aantal, op het derde weer het dubbele tot en met het 64e veld. De koning zei: "En is dat alles wat je hebben wilt, Sissa, jij dwaas? Je krijgt het meteen mee!". Maar Sissa zei: "Vergis u niet, dit zijn in totaal `18446744073709551615` graankorrels. Genoeg om heel India met een laag graan van `1` voet dikte te bedekken!"
Hoeveel graankorrels liggen er op de eerste vier vakjes van het schaakbord samen? Laat zien dat `1 +2 +4 +8 =2^4-1` .
Laat zien dat voor het aantal graankorrels op de eerste vijf vakjes samen geldt: `1 +2 +2^2+2^3+2^4=2^5-1` .
Het aantal graankorrels op de eerste vijf vakjes kun je ook afleiden door bij het totaal van de graankorrels op de eerste vier vakjes nog `2^4` op te tellen. Laat zien dat `2^4-1 +2^4=2^5-1` .
Bewijs met volledige inductie dat `1 + 2 + 2^2 + 2^3 + ... + 2^n = 2^(n+1) - 1` als `n in NN` en `n ge 1` .
Klopt het aantal graankorrels dat Sissa noemde?
Uit de Griekse Oudheid stamt de stelling: "Als je een lijnstuk van lengte `1` hebt, kun je met passer en liniaal een lijnstuk met lengte `sqrt(n)` construeren, waarbij `n` een natuurlijk getal is."
Laat zien dat dit waar is voor `n=2` . Denk erom dat je alleen liniaal en passer gebruikt en geen gradenboog.
Laat zien dat uit de lijnstukken met lengte `1` en `sqrt(2 )` een lijnstuk met lengte `sqrt(3 )` te construeren is.
Bewijs de stelling.