Soorten getallen > Het dominoprincipeVoorbeeld 2
Bewijs: het aantal delen waarin het vlak verdeeld wordt door `n` lijnen die elkaar twee aan twee snijden, is `1/2(n^2 + n + 2)` .
Teken dit om in te zien dat het toevoegen van de lijn met nummer `n` betekent dat er precies `n-1` snijpunten bijkomen. De lijn met nummer `n` snijdt namelijk met alle lijnen die er al staan. Het betekent ook dat er `n` nieuwe delen bijkomen. Het is bijvoorbeeld zo dat bij `n=3` dat het deel links van het linker snijpunt in tweeën wordt verdeeld, zo ook tussen de twee snijpunten in en rechts van het rechter snijpunt. Zo worden er dus `n` nieuwe delen gemaakt.
|
|
|
|
Gebruik volledige inductie:
-
Voor `n = 1` klopt de stelling:
met `1` lijn zijn er `1/2(1^2 + 1 + 2) = 2` delen. -
De stelling geldt voor `n` `rArr` de stelling geldt voor `n + 1` :
Bij `n` lijnen zijn er `1/2(n^2 + n + 2)` delen.
Voeg je de lijn met nummer `n + 1` toe, dan komen er ook `n + 1` nieuwe delen bij.
Bij `n + 1` zijn er dus `1/2(n^2 + n + 2) + n + 1` delen. Dit moet gelijk zijn aan `1/2((n + 1)^2 + (n + 1) + 2)` delen. Door de haakjes weg te werken, zie je dat het klopt.
Q.e.d.
In het
Laat met behulp van één of meer tekeningen zien dat de stelling geldt voor `n=2` .
Laat met behulp van één of meer tekeningen zien dat de stelling geldt voor `n=3` .
Waarom is het nodig dat er geen drie lijnen door één punt gaan?
Voeg aan je figuur (of figuren) een vierde lijn toe. Hoeveel vlakdelen komen er dan bij?
Waarom komen er bij de `(n+1 )` -de lijn `n+1` vlakdelen bij?
Loop nu zelf het bewijs van de stelling na.
Teken je op een cirkel `n` punten op gelijke afstanden van elkaar, dan zijn dat hoekpunten van een regelmatige `n` -hoek. Het gaat om het aantal diagonalen van zo'n regelmatige `n` -hoek.
Neem `n=3` . Hoeveel diagonalen zijn er?
Neem `n=4` . Hoeveel diagonalen zijn er?
Neem `n=5` . Hoeveel diagonalen zijn er?
Laat zien dat het aantal diagonalen bij `n=6` gelijk is aan `1/2 * 6 * 5 - 6` .
Bewijs met behulp van volledige inductie dat het aantal diagonalen in een regelmatige `n` -hoek gelijk is aan `1/2*n*(n-1)-n` .