Soorten getallen > Het dominoprincipe
123456Het dominoprincipe

Voorbeeld 2

Bewijs: het aantal delen waarin het vlak verdeeld wordt door `n` lijnen die elkaar twee aan twee snijden, is `1/2(n^2 + n + 2)` .

> antwoord

Teken dit om in te zien dat het toevoegen van de lijn met nummer `n` betekent dat er precies `n-1` snijpunten bijkomen. De lijn met nummer `n` snijdt namelijk met alle lijnen die er al staan. Het betekent ook dat er `n` nieuwe delen bijkomen. Het is bijvoorbeeld zo dat bij n=3 dat het deel links van het linker snijpunt in tweeën wordt verdeeld, zo ook tussen de twee snijpunten in en rechts van het rechter snijpunt. Zo worden er dus `n` nieuwe delen gemaakt.

Gebruik volledige inductie:

  • Voor `n = 1` klopt de stelling:
    met `1` lijn zijn er `1/2(1^2 + 1 + 2) = 2` delen.

  • De stelling geldt voor `n` `=>` de stelling geldt voor `n + 1` :
    Bij `n` lijnen zijn er `1/2(n^2 + n + 2)` delen.
    Voeg je de lijn met nummer `n + 1` toe, dan komen er ook `n + 1` nieuwe delen bij.
    Bij `n + 1` zijn er dus `1/2(n^2 + n + 2) + n + 1` delen. Dit moet gelijk zijn aan `1/2((n + 1)^2 + (n + 1) + 2)` delen. Door de haakjes weg te werken, zie je dat het klopt.

Q.e.d.

Opgave 5

In het voorbeeld wordt het principe van volledige inductie toegepast op een meetkundig probleem.

a

Laat met behulp van één of meer tekeningen zien dat de stelling geldt voor `n=2` .

b

Laat met behulp van één of meer tekeningen zien dat de stelling geldt voor `n=3` .

c

Waarom is het nodig dat er geen drie lijnen door één punt gaan?

d

Voeg aan je figuur (of figuren) een vierde lijn toe. Hoeveel vlakdelen komen er dan bij?

e

Waarom komen er bij de `(n+1 )` -de lijn `n+1` vlakdelen bij?

f

Loop nu zelf het bewijs van de stelling na.

Opgave 6

Uit de Griekse Oudheid stamt de stelling: "Als je een lijnstuk van lengte `1` hebt, kun je met passer en liniaal een lijnstuk met lengte `sqrt(n)` construeren, waarbij `n` een natuurlijk getal is."

a

Laat zien dat dit waar is voor `n=2` . Denk erom dat je alleen liniaal en passer gebruikt en geen gradenboog.

b

Laat zien dat uit de lijnstukken met lengte `1` en `sqrt(2 )` een lijnstuk met lengte `sqrt(3 )` te construeren is.

c

Bewijs de stelling.

Opgave 7

Teken je op een cirkel `n` punten op gelijke afstanden van elkaar, dan zijn dat hoekpunten van een regelmatige `n` -hoek. Het gaat om het aantal diagonalen van zo'n regelmatige `n` -hoek.

a

Neem `n=3` . Hoeveel diagonalen zijn er?

b

Neem `n=4` . Hoeveel diagonalen zijn er?

c

Neem `n=5` . Hoeveel diagonalen zijn er?

d

Laat zien dat het aantal diagonalen bij `n=6` gelijk is aan `1/2*6 *5 -6` .

e

Bewijs met behulp van volledige inductie dat het aantal diagonalen in een regelmatige `n` -hoek gelijk is aan `1/2*n*(n-1 )-n` .

verder | terug