Soorten getallen > Het dominoprincipe
123456Het dominoprincipe

Uitleg

Als een rij dominostenen zo staat opgesteld, dat elke steen een opvolger raakt als hij omvalt, dan hoef je alleen de eerste steen een zetje te geven om de hele rij te laten vallen.

Een belangrijke methode om stellingen te bewijzen die te maken hebben met de natuurlijke getallen, lijkt op dit "dominoprincipe" . Je toont aan dat een vermoeden klopt voor een bepaalde waarde. Daarna toon je aan: als het klopt voor één waarde, dan klopt het ook voor de volgende waarde. Daarmee is je vermoeden bewezen.

Je past deze methode toe op het volgende vermoeden:
Voor `n in NN` en `n >= 1` geldt: `1 + 2 + 3 + ... + n = 1/2n(n + 1)` .

  • Je laat eerst zien: Het vermoeden geldt voor de kleinste `n` , hier `n=1` (je gooit de eerste steen om).

    Dit klopt inderdaad voor `n=1` , want `1 = 1/2 * 1 * (1 + 1)` .

  • Daarna laat je zien: Als het vermoeden geldt voor `n` , dan volgt daaruit dat het ook geldt voor `n+1` (elke omvallende steen raakt zijn opvolger die dan ook omvalt).

  • Dit betekent dat je moet aantonen:
    Als geldt: `1+2+3+...+n = 1/2 n(n+1)` dan is ook waar: `1+2+3+...+n+n+1 = 1/2 (n+1)(n+2)` ( `n` is vervangen door `n+1` ).

Als je dat aantoont, is het vermoeden juist.

Dat doe je als volgt:
`1+2+3+...+n+n+1 = 1/2n(n+1)+n+1` .
En `1/2n(n+1)+n+1` kun je herleiden tot `1/2(n+1)(n+2)` .

Het vermoeden is dus juist.

Opgave 1

In de uitleg wordt het "dominoprincipe" gebruikt om een stelling over natuurlijke getallen te bewijzen.

a

Wat wordt in dit verband bedoeld met het dominoprincipe?

b

In welke situaties kun je dit dominoprincipe in een bewijs gebruiken?

c

Werk het voorbeeld door en toon nu zelf aan dat uit
`1 + 2 + 3 + ... + n = 1/2n(n + 1)` volgt dat
`1 + 2 + 3 + ... + n + n + 1 = 1/2(n + 1)(n + 2)` .

d

Ga na dat uit de bewezen formule volgt: `1 +2 +3 +...+99 +100 =5050`

Opgave 2

Je kunt de stelling `1 +2 +3 +...+n-1 +n=1/2n(n+1 )` ook anders bewijzen.

Zet `1 +2 +3 +...+n-1 +n` en `n+n-1 +...+3 +2 +1` onder elkaar en tel ze op. Hoe gaat het bewijs dan verder?

verder | terug