Doen.
`1 + 2 + 3 + ... + n = 1/2n(n+1)`
Je bewijst de stelling voor een bepaalde waarde van meestal .
Vervolgens toon je aan dat als de stelling voor een bepaalde waar is, dat hij dan automatisch ook voor de opvolger van waar is. Daardoor ontstaat het effect van een rij omvallende dominostenen:
de stelling is waar voor en daarom ook voor en daarom ook voor , enzovoorts.
Bij stellingen die waar zijn afhankelijk van aantallen objecten.
Uit volgt: .
.
Je krijgt dan keer om op te tellen. Het totaal wordt dan , maar dan heb je het dubbele van de rij getallen...
Doen.
Doen.
.
Doen.
, je krijgt dan volgens je rekenmachine graankorrels. Om zeker te zijn moet je dit getal met de hand berekenen! Dat kan redelijk snel: , en dan is (dit moet met de hand) en .
Doen.
Stelling:
Bewijs:
De stelling geldt voor : .
Neem aan dat de stelling voor geldt.
Voor geldt dan .
Conclusie: de stelling geldt voor en als hij voor geldt dan geldt hij ook voor .
Q.e.d.
Bij twee snijdende lijnen zijn er vlakdelen.
Bij drie lijnen die elkaar twee aan twee snijden zijn er vlakdelen.
Dan komen er minder nieuwe vlakdelen bij als je een lijn toevoegt.
`4`
Hij snijdt elke andere lijn en maakt daardoor nieuwe vlakdelen waarvan er elkaar overlappen.
Inductiestap: .
`0`
`2`
`5`
Vanuit elk punt een lijnstuk naar een ander punt: . De zijden eraf trekken:
Voor klopt de stelling: aantal diagonalen is .
Stel hij klopt voor , dan geldt voor dat er diagonalen bijkomen (in elk punt komen zijden bij elkaar, maar er verdwijnt ook zijde).
Dus wordt het aantal diagonalen dan .
Dit betekent dat de stelling klopt voor als hij voor klopt.
Q.e.d.
Doen.
.
Stelling: .
Bewijs:
Klopt o.a. voor , zie a.
Stel de bewering klopt voor dan geldt voor : .
Dit betekent dat de stelling klopt voor als hij voor klopt.
Q.e.d.
De stelling klopt voor : .
Neem aan dat de stelling voor klopt, dan geldt voor : .
Dit betekent dat de stelling klopt voor als hij voor klopt.
Q.e.d.
De stelling klopt voor : is even.
Uit is even volgt voor : is even omdat dat is en dat ook is.
Dit betekent dat de stelling klopt voor als hij voor klopt.
Q.e.d.
Voor contrueer je een rechthoekige driehoek met rechthoekszijden van en
`1`
. De hypothenusa is dan .
Voor contrueer je een rechthoekige driehoek met rechthoekszijden van en 1. De hypothenusa is dan .
Neem aan dat de stelling klopt voor . Dan heb je een lijnstuk met lengte kunnen construeren. Daarop construeer je een rechthoekige driehoek met en als rechthoekszijden.
De hypothenusa van die driehoek is (gebruik de SvP).
Dit betekent dat de stelling klopt voor als hij voor klopt.
Q.e.d.
De stelling klopt voor : .
Neem aan dat de stelling voor klopt, dan geldt voor : .
Dit betekent dat de stelling klopt voor als hij voor klopt.
Q.e.d.
De stelling geldt voor : de hoekensom van een driehoek is
`180`
°.
Neem aan dat de stelling voor klopt, dan geldt voor dat de hoekensom gelijk is aan ° + 180° = °.
Dit betekent dat de stelling klopt voor als hij voor klopt.
Q.e.d.
Dat de hoeken kleiner dan
`180`
° moeten zijn wordt duidelijk uit het feit dat er bij de overgang van naar precies één driehoek bij moet komen. Dat gaat niet zonder meer op als je "inspringing"
toelaat.