Soorten getallen > Totaalbeeld
123456Totaalbeeld

Antwoorden van de opgaven

Opgave 1
a
b

Buiten het hele diagram. De uitkomst is geen reëel getal. Met dergelijke getallen leer je later nog werken, het zijn "complexe getallen" .

Opgave 2

`text(ggd)(13464,46035) = 99` en `text(kgv)(13464,46035) = 6260760` .

Opgave 3
a

`7 +2 sqrt(6 )`

b

`6 +sqrt(6 )`

c

`text(-)2/5+1/10sqrt(6 )`

Opgave 4
a

`5/41=0,bar(12195)`

b

`538461/999999`

Opgave 5
a

Nee, het product van twee irrationale getallen kan rationaal zijn: bijvoorbeeld `sqrt(12 )*sqrt(3 )=sqrt(36 )=6` .

b

Neem aan `sqrt(10 )=p/q` met `p` en `q` zo klein mogelijk. Dit geeft `p^2/q^2=10` en dus `p^2=10 q^2` dus moet `p^2` een tienvoud zijn. Dit kan alleen als `p` zelf dat is en dan moet `p=10 a` . En dus is dan `(10 a) ^2=10 q^2` en dus `q^2=10 a^2` zodat ook `q^2` en dus `q` een tienvoud is. De breuk kan worden vereenvoudigd en dat is in tegenspraak met de aanname.

Opgave 6

Neem aan `\ ^5 log(7) = p/q` met `p` en `q` zo klein mogelijke gehele getallen. Dit geeft `7 =5^ ((p/q))` en dus `7^q=5^p` . Dit kan niet als `p` en `q` gehele getallen zijn en dat is in tegenspraak met de aanname.

Opgave 7

De stelling klopt voor `n=1` : `1 +3 =1/2(3^2-1 )` .
Neem aan dat de stelling klopt voor `n` , dan geldt voor `n+1` : `1 +3 +3^2+3^3+...+3^n+3^ ((n+1 )) =1/2*(3^ ((n+1 )) -1 )+3^ ((n+1 )) =`
`3/2*3^ ((n+1 )) -1/2=1/2(3 *3^ ((n+1 )) -1 )=1/2(3^ ((n+2 )) -1 )`
Dit betekent dat de stelling klopt voor `n+1` als hij voor `n` klopt.
Q.e.d.

Opgave 8Modulair rekenen
Modulair rekenen
a

`24, 36, 48` , etc., maar ook `text(-)12, text(-)24` , etc.

b

Omdat je de veelvouden van `12` moet weglaten en daan steeds `3` overhoudt.

c

`4 +k*12`

d

`1314 ≡ 6` (mod 12) en `967 ≡ 7` (mod 12).
Ga nu op beide manieren na, dat `1314` + `967` (mod 12) `≡` 1(mod 12).
Ga ook op beide manieren na, dat `1314 *967` (mod 12) `≡` 6(mod 12).

e

`a+k*m±b+l*m=a±b+(k+l)*m` .
`(a+k*m)*(b+l*m)=a*b+(al+bk+klm)*m` .

f

`x -= 9(mod 12)`

g

`x≡9(mod 12)`
Je kunt dit met je rekenmachine vinden door de tabel van `(3 +k*12) /7` te bekijken en te zoeken naar een gehele uitkomst. Die vind je bij `k=5` en de uitkomst is daar `9` .

h

De tabel van `(3 +k*12) /2` heeft geen gehele uitkomsten, dus deze vergelijking is onoplosbaar.

i

ASCII: 87 73 83 75 85 78 68 69 wordt `11` `37` `60` `61` `84` `00` `74` `86`

j

Bij het terugrekenen moet je telkens `12x + 34 -= code(mod 97)` oplossen door naar de tabel van `(code-34 +k*97) /12` te kijken en de eerste gehele uitkomst te zoeken.

Opgave 9Het vermoeden van Goldbach en andere openstaande kwesties
Het vermoeden van Goldbach en andere openstaande kwesties
a

`48 =43 +5` en `76 =71 +5`

b

Er zijn oneindig veel getallen.

c

Bijvoorbeeld het abc-vermoeden heeft een eigen Nederlandstalige website. Op de pagina Wikipedia: Wiskundig vermoeden van de Nederlandstalige Wikipedia vind je een lijstje met een aantal vermoedens.

verder | terug