Complexe getallen > Modulus en argument
123456Modulus en argument

Antwoorden van de opgaven

Opgave V1
a

`sqrt(4^2+3^2)=5`

b

`arctan(3/4) ~~ 0,64` rad.

c

`z ~~ 5 cos(0,64) + 5text(i)sin(0,64)`

Opgave 1
a

`r=sqrt(2^2+2^2)=2sqrt(2)` en `varphi=arctan(2/2)=0,25pi` .

b

Veelvouden van 2 π kun je erbij optellen.

c

De waarde van het argument die tussen `text(-)pi` en `pi` ligt, dus hier φ = 0,25 π .

d

z = 2 2 cos ( 0,25 π ) + 2 2 i sin ( 0,25 π )

Opgave 2
a

`varphi=arctan(text(-)2/1)~~text(-)1,11`

b

`|z_1| = sqrt(1^2 + (text(-)2)^2) = sqrt(5)` .

`z_1≈sqrt(5)cos(text(-)1,11)+text(i)sqrt(5)sin(text(-)1,11)` .

c

Je krijgt dan een hoek in het vierde kwadrant en je wilt er één in het tweede kwadrant.

d

`varphi ~~ pi - 1,11 ~~ 2,03` .

z 2 = 5 cos ( 2,03 ) + i 5 sin ( 2,03 ) .

Opgave 3
a

Neem z 1 = a + i b en z 2 = c + i d en ga daarvan argumenten bepalen. Vergelijk met het argument van z 1 z 2 = ( a + i b ) ( c + i d ) .

b

z 2 = - 1,74 + 6 i

c

z 2,5 cos ( 0,927 ) + 2,5 i sin ( 0,927 ) en z 2 6,25 cos ( 1,855 ) + 6,25 i sin ( 1,855 )

d

z 2 = z z en dan worden draaihoeken opgeteld, dus arg ( z 2 ) = arg ( z ) + arg ( z )

e

z 3 = - 14,625 + 5,5 i 15,625 cos ( 2,7 ) + 15,625 i sin ( 2,7 )

f

Je moet `n` keer dezelfde draaihoek optellen.

g

`2 + 0,5text(i) ~~ 1/2 sqrt(17)*(cos(0,245) + text(i)sin(0,245))` .

`(2 + 0,5text(i))^4 ~~ (1/2 sqrt(17))^4*(cos(4*0,245) + text(i)sin(4*0,245))~~`
`~~ 1/16*17^2*cos(0,980) + 1/16*17^2*sin(0,980)text(i) = 10,0625 + 15text(i)` (doorrekenen met alle decimalen!).

GR: `(2 + 0,5text(i))^4 = 10,0625 + 15text(i)` .

Opgave 4
a

`z_1=1+text(i)sqrt(3)=2cos(1/3 pi) + 2 sin(1/3 pi)*text(i)`

`z_2=1-text(i)=sqrt(2)cos(text(-)1/4 pi) + sqrt(2) sin(text(-)1/4 pi)*text(i)`

`(z_1)/(z_2) = 1/2 - 1/2 sqrt(3) + (1/2 + 1/2 sqrt(3))text(i)` .

Nu is: `(|z_1|)/(|z_2|) = 2/(sqrt(2)) = sqrt(2)` .

Nu is: `|(z_1)/(z_2)|=sqrt((1/2 + 1/2 sqrt(3))^2 + (1/2 - 1/2 sqrt(3))^2) = sqrt(2)` .

Ook is: `text(arg)(z_1) - text(arg)(z_2) = 1/3 pi + 1/4 pi = 7/12 pi = 1,832...`

En: `text(arg)((z_1)/(z_2)) = pi - arctan((1/2 + 1/2 sqrt(3))/(1/2 - 1/2 sqrt(3))) = 1,832...`

b

Gebruik `z_1 = r_1(cos(varphi_1) + text(i) sin(varphi_1))` en `z_2 = r_2(cos(varphi_2) + text(i) sin(varphi_2))` .

Nu is: `(z_1)/(z_2) = (r_1(cos(varphi_1) + text(i) sin(varphi_1)))/(r_2(cos(varphi_2) + text(i) sin(varphi_2))) =`
`= (r_1)/(r_2) * (cos(varphi_1) + text(i) sin(varphi_1))/(cos(varphi_2) + text(i) sin(varphi_2)) =`
`= (r_1)/(r_2) * ((cos(varphi_1) + text(i) sin(varphi_1))*(cos(varphi_2) + text(i) sin(varphi_2)))/(cos^2(varphi_2) + sin^2(varphi_2)) =`
`=(r_1)/(r_2) * ((cos(varphi_1)cos(varphi_2) - sin(varphi_1)sin(varphi_2)) + text(i)*(sin(varphi_1)cos(varphi_2)+cos(varphi_1)sin(varphi_2)))/1 =`
`=(r_1)/(r_2) * (cos(varphi_1 - varphi_2)) + text(i)*(sin(varphi_1 - varphi_2)) ` .

Je maakt hier gebruik van de somregels voor sinus en cosinus.

Opgave 5
a

Doen.

b

| z | = 5 en Arg ( z ) 0,927

c

z 5 cos ( 0,927 ) + 5 i sin ( 0,927 )

d

`z~~5cos(text(-)0,927)+5text(i)sin(text(-)0,927)`

Opgave 6
a

`|z|~~4,47` en `text(Arg)(z)~~2,68` .

b

`|z|=sqrt((text(-)4)^2+2^2)=sqrt(20)` en `text(Arg)(z)=pi - arctan(2/4)~~2,68` .

c

z 20 cos ( 2,68 ) + i 20 sin ( 2,68 )

d

Oefen met een medeleerling.

Opgave 7
a

Doen.

b

`z_1 = 1+text(i) = sqrt(2)(cos(1/4 pi) + text(i)sin(1/4 pi))`

`z_2 = 1-text(i) = sqrt(2)(cos(3/4 pi) + text(i)sin(3/4 pi))`

`1_1*z_2 = (1+text(i))(1-text(i)) = 2 = 2*(cos(pi) + text(i)sin(pi))`

Je ziet dat `|z_1|*|z_1| = sqrt(2)*sqrt(2) = 2 = |z_1*z_2|` en `text(arg)(z_1) + text(arg)(z_2) = pi = text(arg)(z_1*z_2)` .

Opgave 8
a

Doen.

b

`(1+text(i))^2 = 2text(i)` en `(1+text(i))^4 = (2text(i))^2=text(-)4` .

Dus `(1+text(i))^5 = text(-)4(1+text(i)) = text(-)4 - 4text(i)` .

c

( 1 + i ) 5 = - 4 - 4 i

Opgave 9
a

| z | = 1 en Arg ( z ) = 0

b

| z | = 2 en Arg ( z ) = 0

c

`|z|=sqrt(1^2+1^2)=sqrt(2)` en `text(Arg)(z)=arctan(1/1)=0,25pi` .

d

| z | = 1 en Arg ( z ) = 0,5 π

e

| z | = 3 en Arg ( z ) = - 0,5 π

f

| z | = 2 en Arg ( z ) = 0,75 π

g

| z | = 2 en Arg ( z ) = - 0,25 π

h

| z | = 1 en Arg ( z ) = 1 3 π

Opgave 10

`z = (1 + text(i))(0,5sqrt(3)+0,5text(i)) = 0,5sqrt(3)-0,5 + (0,5sqrt(3)-0,5)text(i)`

Re ( z ) = 0,5 3 - 0 , 5 , Im ( z ) = 0,5 3 - 0,5 , Arg ( z ) = 5 12 π en | z | = 2

Opgave 11

`|z|=sqrt(x^2+y^2) ge sqrt(x^2) ge x=text(Re)(z)`

Opgave 12

`z_1 * z_2 = text(-)3,5 + 12text(i)` . Bereken de bijbehorende argumenten en lengtes en ga na dat de vermenigvuldigingsregel opgaat. Bekijk eventueel Voorbeeld 2.

Opgave 13
a

`|2-2text(i)|=sqrt(8)` en `text(arg)(2-2text(i)) = text(-)1/4 pi` .
Dus `(2 - 2text(i))^5 = (sqrt(8))^5(cos(text(-)5/4 pi) + text(i) sin(text(-)5/4 pi)) = text(-)128 + 128text(i)` .

b

`|z|=(sqrt(13))^5` en `text(arg)(z)~~5*text(-)0,98` .
Dus `(2-3text(i))^5 = 122+597text(i)` (Niet afronden tussentijds!)

c

Je krijgt benaderingen van de hoeken en dus ook van de uitkomsten. Soms zijn de afwijkingen groot.

Opgave 14
a

`z bar(z)=(x+text(i)y)(x-text(i)y)` uitwerken geeft `x^2 + y^2` .
Omdat `|z|=sqrt(x^2+y^2)` is ook `|z|^2=x^2+y^2` .

b

Neem z 1 = a + i b en z 2 = c + i d en werk alles netjes algebraïsch uit.

c

Net als bij b.

d

`x + text(i)y = x - text(i)y` kan alleen als `y=0` .

Opgave 15Driehoeksongelijkheid
Driehoeksongelijkheid

Redeneer vanuit vectoren als voorstelling voor complexe getallen.

Opgave 16Verzamelingen complexe getallen
Verzamelingen complexe getallen
a

Neem z = x + i y en je krijgt x 2 + y 2 = 5 ; dit is een cirkel met middelpunt O en straal 5 .

b

Schrijf `z=x+ytext(i)` .
`|z-2|=|x-2+ytext(i)|=sqrt((x-2)^2+y^2)=2` en dit geeft `(x-2)^2+y^2=4` .
Dit is een cirkel met middelpunt `(2, 0)` en straal `2` .

c

Schrijf `z=x+ytext(i)` .
`|z-text(i)|=|x+(y-1)text(i)|=sqrt(x^2+(y-1)^2)=sqrt(2)` en dit geeft `x^2+(y-1)^2=2` .
Dit is een cirkel met middelpunt `(0, 1)` en straal `sqrt(2)` .

d

Schrijf `z=x+ytext(i)` .
`|z-text(i)|=|x+ytext(i)-text(i)|=sqrt(x^2+(y-1)^2)` geeft `|z+1|=|x+ytext(i)+1|=sqrt((x+1)^2+y^2)` .
Hieruit volgt `x^2+(y-1)^2=(x+1)^2+y^2` en dit geeft `y=text(-)x` .

Dus de lijn y = - x .

Opgave 17
a

| z | = 34 en Arg ( z ) 0,540

b

| z | = 1 34 en Arg ( z ) 1,030

c

| z | = 56250 en Arg ( z ) - 0,488

d

| z | = 1 en Arg ( z ) 2 3 π

Opgave 18
a

Cirkel om `(0, text(-)1)` met straal `3` .

b

Gebied met | x | < 1 .

verder | terug