`sqrt(4^2+3^2)=5`
`arctan(3/4) ~~ 0,64` rad.
`z ~~ 5 cos(0,64) + 5text(i)sin(0,64)`
`r=sqrt(2^2+2^2)=2sqrt(2)` en `varphi=arctan(2/2)=0,25pi` .
Veelvouden van kun je erbij optellen.
De waarde van het argument die tussen `text(-)pi` en `pi` ligt, dus hier .
`varphi=arctan(text(-)2/1)~~text(-)1,11`
`|z_1| = sqrt(1^2 + (text(-)2)^2) = sqrt(5)` .
`z_1≈sqrt(5)cos(text(-)1,11)+text(i)sqrt(5)sin(text(-)1,11)` .
Je krijgt dan een hoek in het vierde kwadrant en je wilt er één in het tweede kwadrant.
`varphi ~~ pi - 1,11 ~~ 2,03` .
.
Neem en en ga daarvan argumenten bepalen. Vergelijk met het argument van .
en
en dan worden draaihoeken opgeteld, dus
Je moet `n` keer dezelfde draaihoek optellen.
`2 + 0,5text(i) ~~ 1/2 sqrt(17)*(cos(0,245) + text(i)sin(0,245))` .
`(2 + 0,5text(i))^4 ~~ (1/2 sqrt(17))^4*(cos(4*0,245) + text(i)sin(4*0,245))~~`
`~~ 1/16*17^2*cos(0,980) + 1/16*17^2*sin(0,980)text(i) = 10,0625 + 15text(i)`
(doorrekenen met alle decimalen!).
GR: `(2 + 0,5text(i))^4 = 10,0625 + 15text(i)` .
`z_1=1+text(i)sqrt(3)=2cos(1/3 pi) + 2 sin(1/3 pi)*text(i)`
`z_2=1-text(i)=sqrt(2)cos(text(-)1/4 pi) + sqrt(2) sin(text(-)1/4 pi)*text(i)`
`(z_1)/(z_2) = 1/2 - 1/2 sqrt(3) + (1/2 + 1/2 sqrt(3))text(i)` .
Nu is: `(|z_1|)/(|z_2|) = 2/(sqrt(2)) = sqrt(2)` .
Nu is: `|(z_1)/(z_2)|=sqrt((1/2 + 1/2 sqrt(3))^2 + (1/2 - 1/2 sqrt(3))^2) = sqrt(2)` .
Ook is: `text(arg)(z_1) - text(arg)(z_2) = 1/3 pi + 1/4 pi = 7/12 pi = 1,832...`
En: `text(arg)((z_1)/(z_2)) = pi - arctan((1/2 + 1/2 sqrt(3))/(1/2 - 1/2 sqrt(3))) = 1,832...`
Gebruik `z_1 = r_1(cos(varphi_1) + text(i) sin(varphi_1))` en `z_2 = r_2(cos(varphi_2) + text(i) sin(varphi_2))` .
Nu is:
`(z_1)/(z_2) = (r_1(cos(varphi_1) + text(i) sin(varphi_1)))/(r_2(cos(varphi_2) + text(i)
sin(varphi_2))) =`
`= (r_1)/(r_2) * (cos(varphi_1) + text(i) sin(varphi_1))/(cos(varphi_2) + text(i) sin(varphi_2))
=`
`= (r_1)/(r_2) * ((cos(varphi_1) + text(i) sin(varphi_1))*(cos(varphi_2) + text(i)
sin(varphi_2)))/(cos^2(varphi_2) + sin^2(varphi_2)) =`
`=(r_1)/(r_2) * ((cos(varphi_1)cos(varphi_2) - sin(varphi_1)sin(varphi_2)) + text(i)*(sin(varphi_1)cos(varphi_2)+cos(varphi_1)sin(varphi_2)))/1
=`
`=(r_1)/(r_2) * (cos(varphi_1 - varphi_2)) + text(i)*(sin(varphi_1 - varphi_2)) `
.
Je maakt hier gebruik van de somregels voor sinus en cosinus.
Doen.
en
`z~~5cos(text(-)0,927)+5text(i)sin(text(-)0,927)`
`|z|~~4,47` en `text(Arg)(z)~~2,68` .
`|z|=sqrt((text(-)4)^2+2^2)=sqrt(20)` en `text(Arg)(z)=pi - arctan(2/4)~~2,68` .
Oefen met een medeleerling.
Doen.
`z_1 = 1+text(i) = sqrt(2)(cos(1/4 pi) + text(i)sin(1/4 pi))`
`z_2 = 1-text(i) = sqrt(2)(cos(3/4 pi) + text(i)sin(3/4 pi))`
`1_1*z_2 = (1+text(i))(1-text(i)) = 2 = 2*(cos(pi) + text(i)sin(pi))`
Je ziet dat `|z_1|*|z_1| = sqrt(2)*sqrt(2) = 2 = |z_1*z_2|` en `text(arg)(z_1) + text(arg)(z_2) = pi = text(arg)(z_1*z_2)` .
Doen.
`(1+text(i))^2 = 2text(i)` en `(1+text(i))^4 = (2text(i))^2=text(-)4` .
Dus `(1+text(i))^5 = text(-)4(1+text(i)) = text(-)4 - 4text(i)` .
en
en
`|z|=sqrt(1^2+1^2)=sqrt(2)` en `text(Arg)(z)=arctan(1/1)=0,25pi` .
en
en
en
en
en
`z = (1 + text(i))(0,5sqrt(3)+0,5text(i)) = 0,5sqrt(3)-0,5 + (0,5sqrt(3)-0,5)text(i)`
, , en
`|z|=sqrt(x^2+y^2) ge sqrt(x^2) ge x=text(Re)(z)`
`z_1 * z_2 = text(-)3,5 + 12text(i)`
. Bereken de bijbehorende argumenten en lengtes en ga na dat de vermenigvuldigingsregel
opgaat. Bekijk eventueel
`|2-2text(i)|=sqrt(8)`
en
`text(arg)(2-2text(i)) = text(-)1/4 pi`
.
Dus
`(2 - 2text(i))^5 = (sqrt(8))^5(cos(text(-)5/4 pi) + text(i) sin(text(-)5/4 pi)) =
text(-)128 + 128text(i)`
.
`|z|=(sqrt(13))^5`
en
`text(arg)(z)~~5*text(-)0,98`
.
Dus
`(2-3text(i))^5 = 122+597text(i)`
(Niet afronden tussentijds!)
Je krijgt benaderingen van de hoeken en dus ook van de uitkomsten. Soms zijn de afwijkingen groot.
`z bar(z)=(x+text(i)y)(x-text(i)y)`
uitwerken geeft
`x^2 + y^2`
.
Omdat
`|z|=sqrt(x^2+y^2)`
is ook
`|z|^2=x^2+y^2`
.
Neem en en werk alles netjes algebraïsch uit.
Net als bij b.
`x + text(i)y = x - text(i)y` kan alleen als `y=0` .
Redeneer vanuit vectoren als voorstelling voor complexe getallen.
Neem en je krijgt ; dit is een cirkel met middelpunt en straal .
Schrijf
`z=x+ytext(i)`
.
`|z-2|=|x-2+ytext(i)|=sqrt((x-2)^2+y^2)=2`
en dit geeft
`(x-2)^2+y^2=4`
.
Dit is een cirkel met middelpunt
`(2, 0)`
en straal
`2`
.
Schrijf
`z=x+ytext(i)`
.
`|z-text(i)|=|x+(y-1)text(i)|=sqrt(x^2+(y-1)^2)=sqrt(2)`
en dit geeft
`x^2+(y-1)^2=2`
.
Dit is een cirkel met middelpunt
`(0, 1)`
en straal
`sqrt(2)`
.
Schrijf
`z=x+ytext(i)`
.
`|z-text(i)|=|x+ytext(i)-text(i)|=sqrt(x^2+(y-1)^2)`
geeft
`|z+1|=|x+ytext(i)+1|=sqrt((x+1)^2+y^2)`
.
Hieruit volgt
`x^2+(y-1)^2=(x+1)^2+y^2`
en dit geeft
`y=text(-)x`
.
Dus de lijn .
en
en
en
en
Cirkel om `(0, text(-)1)` met straal `3` .
Gebied met .