Complexe getallen > Modulus en argument
123456Modulus en argument

Voorbeeld 2

Laat zien dat voor de complexe getallen `z_1=3+4text(i)` en `z_2=2,4+text(i)` de vermenigvuldigingsregel geldt.

> antwoord

Ga na (zie Voorbeeld 1) dat: `|z_1|=5` en `text(arg)(z_1)≈0,93` .
Ga ook na, dat: `|z_2|=2,6` en `text(arg)(z_2)≈0,39` .

Nu is `z_1·z_2=(3+4text(i))(2,4+text(i))=3,2+12,6text(i)` .

Hiervoor geldt: `|z_1·z_2|=sqrt(3,2^2+12,6^2)=13` en `text(arg)(z_1·z_2)=arctan((12,6)/(3,2))≈1,32` .

Inderdaad geldt `|z_1·z_2|=|z_1|·|z_2|` en `text(arg)(z_1·z_2) = text(arg)(z_1)+text(arg)(z_2)` .

Natuurlijk is dit nog geen bewijs voor de vermenigvuldigingsregel.

Het kan zijn dat `text(arg)(z_1)+text(arg)(z_2)` op meer dan `2π` uitkomt. In dat geval zullen `text(arg)(z_1·z_2)` en `text(arg)(z_1)+text(arg)(z_2)` verschillen. Neem je echter de hoofdwaarde van het argument, dan ontstaat dit probleem niet.

Opgave 7

In Voorbeeld 2 zie je hoe de vermenigvuldigingsregel voor complexe getallen wordt gecontroleerd.

a

Voer zelf deze berekening uit zonder naar het voorbeeld te kijken.

b

Neem `z_1 = 1+text(i)` en `z_2 = 1-text(i)` en controleer die vermenigvuldigingsregel ook met deze twee complexe getallen.

verder | terug