Laat zien dat voor de complexe getallen
`z_1=3+4text(i)`
en
`z_2=2,4+text(i)`
de vermenigvuldigingsregel geldt.
Ga na (zie
Ga ook na, dat:
`|z_2|=2,6`
en
`text(arg)(z_2)≈0,39`
.
Nu is `z_1·z_2=(3+4text(i))(2,4+text(i))=3,2+12,6text(i)` .
Hiervoor geldt: `|z_1·z_2|=sqrt(3,2^2+12,6^2)=13` en `text(arg)(z_1·z_2)=arctan((12,6)/(3,2))≈1,32` .
Inderdaad geldt `|z_1·z_2|=|z_1|·|z_2|` en `text(arg)(z_1·z_2) = text(arg)(z_1)+text(arg)(z_2)` .
Natuurlijk is dit nog geen bewijs voor de vermenigvuldigingsregel.
Het kan zijn dat `text(arg)(z_1)+text(arg)(z_2)` op meer dan `2π` uitkomt. In dat geval zullen `text(arg)(z_1·z_2)` en `text(arg)(z_1)+text(arg)(z_2)` verschillen. Neem je echter de hoofdwaarde van het argument, dan ontstaat dit probleem niet.
In
Voer zelf deze berekening uit zonder naar het voorbeeld te kijken.
Neem `z_1 = 1+text(i)` en `z_2 = 1-text(i)` en controleer die vermenigvuldigingsregel ook met deze twee complexe getallen.