Complexe getallen

Complexe getallen > Modulus en argument

123456Modulus en argument

Uitleg

Een complex getal als `z = 1+2text(i)` kun je voorstellen door de vector $(\begin{matrix} 1 \\ 2 \end{matrix})$ vanuit de oorsprong van een `Oxy` -assenstelsel (het complexe vlak). Als je die vector tekent, dan zie je dat hij een hoek `φ` met de positieve `x` -as maakt en een bepaalde lengte heeft. Deze hoek heet wel het argument van `z` : `text(arg)(z)` . Als je aanneemt dat `text(-) pi lt varphi le pi` dan is dit de hoofdwaarde van het argument en schrijf je: `text(Arg)(z)` .

Ga na, dat de lengte (de modulus) `|z|` van deze vector `sqrt(1^2 + 2^2) = sqrt(5)` is en dat `tan(φ)=2/1=2` .
De bijbehorende hoek is ongeveer `1,11` rad.
`z = 1+2text(i)` kun je benaderen door `z ~~ sqrt(5)*cos(1,11) + text(i)*sqrt(5)*sin(1,11)`

Op het eerste gezicht lijkt deze schrijfwijze (de poolvoorstelling van `1+2text(i)` ) misschien niet erg handig. Maar dat wordt anders als je twee complexe getallen gaat vermenigvuldigen:
Je zult zien dat om het product van twee complexe getallen te vinden alleen hun lengtes hoeven te worden vermenigvuldigd en beide hoeken te worden opgeteld.

Met de applet kun je ook andere complexe getallen bekijken en omzetten naar de poolvoorstelling...

Opgave 1

Bekijk in Uitleg 1 hoe je een complex getal kunt schrijven als: $z = r \cdot \cos (φ) + i \cdot r \sin (φ)$ . Hierin is $φ$ de hoek die de bijbehorende vector met de positieve $x$ -as maakt en $r$ de lengte van die vector. Neem nu $z = 2 + 2 i$ .

Bepaal $r$ en $φ = arg (z)$ .

Waarom zijn er meerdere waarden voor $φ$ mogelijk?

Wat is $Arg (z)$ ?

Schrijf $z = 2 + 2 i$ in de vorm $z = r \cdot \cos (φ) + i \cdot r \cdot \sin (φ)$ .

Opgave 2

Neem het complexe getal $z_{1} = 1 - 2 i$ .

Bepaal $φ = arg (z_{1})$ in radialen en in twee decimalen nauwkeurig.

Schrijf het complexe getal in de vorm $z_{1} = r \cdot \cos (φ) + i \cdot r \cdot \sin (φ)$ .

Neem het complexe getal $z_{2} = - 1 + 2 i$ .

Als je $φ = arg (z_{2})$ bepaalt met $\tan (φ) = - \frac{2}{1}$ , krijg je niet meteen de goede hoek. Hoe komt dat?

Schrijf dit complexe getal in de vorm $z_{2} = r \cdot \cos (φ) + i \cdot r \cdot \sin (φ)$ .

verder | terug