Complexe getallen

Complexe getallen > Modulus en argument

123456Modulus en argument

Uitleg

In de applet zie je hoe je twee complexe getallen vermenigvuldigt. Het lijkt er op dat bij het vermenigvuldigen de lengtes van `z_1` en `z_2` worden vermenigvuldigd, maar de argumenten (de hoeken) worden opgeteld. Dat dit in het algemeen het geval is kun je bewijzen vanuit de poolvoorstellingen van beide complexe getallen.
In het algemeen is: `z_1 = r_1 (cos(varphi_1) + text(i) sin(varphi_1))` en `z_2 = r_2 (cos(varphi_2) + text(i) sin(varphi_2))` .
Hierin is `r` de lengte en `varphi` de hoek (tussen `text(-)pi` en `pi` ) van het betreffende complexe getal.

Door deze twee uitdrukkingen te vermenigvuldigen en de formules voor `sin(varphi_1 + varphi_2)` en `cos(varphi_1 + varphi_2)` toe te passen kun je bewijzen dat:

De vermenigvuldigingsregel:
Als je twee complexe getallen `z_1 = r_1 (cos(varphi_1) + text(i) sin(varphi_1))` en `z_2 = r_2 (cos(varphi_2) + text(i) sin(varphi_2))` vermenigvuldigt, dan krijg je `z_1 * z_2 = r_1 * r_2 * (cos(varphi_1 + varphi_2) + text(i) * sin(varphi_1 + varphi_2))` .
Je vermenigvuldigt dus de lengtes en telt de argumenten (hoofdwaarden van de hoeken) op.

Hieruit volgt meteen: als `z = r (cos(varphi) + text(i) sin(varphi))` dan is `z^2 = r^2 (cos(2 varphi) + text(i) sin(2 varphi))` .

Deze regel is door hem te herhalen uit te breiden naar (gehele positieve) machten van complexe getallen: `z^n = r^n (cos(n varphi) + text(i) sin(n varphi))`

Dit wordt wel de stelling van De Moivre genoemd.

Opgave 3

Bestudeer Uitleg 2.

Bewijs de vermenigvuldigingsregel voor complexe getallen op de manier die in de uitleg wordt beschreven.

In de uitleg vind je ook de stelling van De Moivre. Hij volgt uit de vermenigvuldigingsregel voor complexe getallen. Neem `z = 1,5 + 2text(i)` .

Bereken $z^{2}$ .

Schrijf nu zowel $z$ als $z^{2}$ in de poolvoorstelling. Controleer dat $| z^{2} | = {| z |}^{2}$ en $arg (z^{2}) = 2 \cdot arg (z)$ .

Leg nu uit waarom de stelling van De Moivre voor $n = 2$ uit de vermenigvuldigingsregel voor complexe getallen volgt.

Doe het voorgaande ook met $z^{3}$ en leg uit waarom de stelling van De Moivre voor $n = 3$ uit de vermenigvuldigingsregel voor complexe getallen volgt.

Waarom geldt $arg (z^{n}) = n \cdot arg (z) + k \cdot 2 π$ en dus de stelling van De Moivre?

Bereken met de stelling van De Moivre `(2 + 0,5text(i))^4` . Controleer het antwoord met je grafische rekenmachine.

Opgave 4

Dat complexe getallen kunnen worden gedeeld heb je al gezien. Net als bij vermenigvuldiging kun je eenvoudige regels afleiden voor het gedrag van modulus en argument daarbij: $| \frac{z_{1}}{z_{2}} | = \frac{| z_{1} |}{| z_{2} |}$ en $arg (\frac{z_{1}}{z_{2}}) = arg (z_{1}) - arg (z_{2})$

Neem $z_{1} = 1 + i \sqrt{3}$ en $z_{2} = 1 - i$ en bereken $\frac{z_{1}}{z_{2}}$ . Laat zien dat de beide regels opgaan.

De regel voor het delen van complexe getallen kun je bewijzen op de wijze die in Uitleg 2 staat beschreven voor de vermenigvuldigingsregel. Laat dat zien.

verder | terug