Complexe getallen > Modulus en argument
123456Modulus en argument

Theorie

Elk complex getal kan worden geschreven in de vorm

`z=x+text(i)y=r(cos(φ)+text(i)sin(φ))` :

  • `r=|z|=sqrt(x^2+y^2)` de absolute waarde of de modulus van `z` ;

  • `φ` is de hoek die de vector die het complexe getal `z` voorstelt maakt met de positieve `x` -as, het argument van `z` , notatie: `text(arg)(z)` .

Laat je voor `φ` alleen waarden toe vanaf `text(-)π` tot en met `π` , dan heb je de hoofdwaarde van het argument, notatie `text(Arg)(z)` .

Het getal `0` is een beetje een uitzondering: dat getal heeft een absolute waarde van `0` , maar er hoort geen argument bij. Verder hebben alle andere complexe getallen zowel een modulus (absolute waarde) als een argument.
De hiervoor beschreven voorstelling van een complex getal als `z=r(cos(φ)+text(i)sin(φ))` noem je de poolvoorstelling van `z` .

Twee belangrijke stellingen:

De vermenigvuldigingsregel:
Als je twee complexe getallen `z_1` en `z_2` vermenigvuldigt, dan geldt: `|z_1·z_2|=|z_1|·|z_2|` en
`text(arg)(z_1·z_2)=text(arg)(z_1)+text(arg)(z_2)` .

De stelling van De Moivre:
Voor elke waarde van `φ` en elk gehele getal `n` geldt:
`(cos(φ)+text(i)sin(φ))^n=cos(nφ)+isin(nφ)`

verder | terug