Bereken `z_1 = sqrt(3 + 4text(i))` en `z_2 = 1/((3 + 4text(i))^4)` .
Stel eerst vast dat `3+4text(i)≈5text(e)^(0,93text(i))` .
Dan is
`z_1 = sqrt(3+4text(i)) = (3+4text(i))^(0,5) ~~ (5*text(e)^(0,93text(i)))^(0,5) = 5^(0,5)*text(e)^(0,5*0,93text(i))
= sqrt(5)text(e)^(0,46text(i))`
.
En dus is
`z_1≈sqrt(5)(cos(0,46)+text(i)sin(0,46))=2+text(i)`
.
(Het is wel zaak om niet tussentijds af te ronden!)
Verder is
`z_2 = 1/((3+4text(i))^4) = (3+4text(i))^(text(-)4) ~~ (5text(e)^(0,93text(i)))^(text(-)4)
= 5^(text(-)4)*text(e)^(text(-)4*0,93text(i)) = 1/625 text(e)^(text(-)3,71text(i))`
.
En dus is
`z_2 ≈ 1/625(cos(text(-)3,71)+text(i)sin(text(-)3,71)) = text(-)0,0013+0,0009text(i)`
.
(In vier decimalen nauwkeurig.)
In
Loop zelf de berekeningen in het voorbeeld na.
Je kunt de eerste berekening in het voorbeeld makkelijk controleren door terug te rekenen. Laat dat zien.
De stelling van De Moivre is met behulp van de formule van Euler uit te breiden tot willekeurige reële waarden van . Licht dit toe.
Worteltrekken uit complexe getallen is lastiger dan uit het voorbeeld blijkt.
Er geldt namelijk:
`3+4text(i)≈5text(e)^(0,93text(i) + k*2pi)`
.
Laat zien dat hieruit volgt dat er eigenlijk twee complexe getallen zijn die de wortel uit `3+4text(i)` kunnen zijn.
En het wordt nog erger. Ook de bekende rekenregels voor wortels leveren problemen op.
Laat zien dat `sqrt(text(-)3) * sqrt(text(-)12) != sqrt(text(-)3 * text(-)12)` .