Complexe getallen > Formule van Euler
123456Formule van Euler

Voorbeeld 4

Bereken `z_1 = sqrt(3 + 4text(i))` en `z_2 = 1/((3 + 4text(i))^4)` .

> antwoord

Stel eerst vast dat `3+4text(i)≈5text(e)^(0,93text(i))` .

Dan is `z_1 = sqrt(3+4text(i)) = (3+4text(i))^(0,5) ~~ (5*text(e)^(0,93text(i)))^(0,5) = 5^(0,5)*text(e)^(0,5*0,93text(i)) = sqrt(5)text(e)^(0,46text(i))` .
En dus is `z_1≈sqrt(5)(cos(0,46)+text(i)sin(0,46))=2+text(i)` .
(Het is wel zaak om niet tussentijds af te ronden!)

Verder is `z_2 = 1/((3+4text(i))^4) = (3+4text(i))^(text(-)4) ~~ (5text(e)^(0,93text(i)))^(text(-)4) = 5^(text(-)4)*text(e)^(text(-)4*0,93text(i)) = 1/625 text(e)^(text(-)3,71text(i))` .
En dus is `z_2 ≈ 1/625(cos(text(-)3,71)+text(i)sin(text(-)3,71)) = text(-)0,0013+0,0009text(i)` .
(In vier decimalen nauwkeurig.)

Opgave 7

In Voorbeeld 4 kun je zien hoe je met behulp van de formule van Euler wortels en negatieve machten van een complex getal met de hand berekent.

a

Loop zelf de berekeningen in het voorbeeld na.

b

Je kunt de eerste berekening in het voorbeeld makkelijk controleren door terug te rekenen. Laat dat zien.

c

De stelling van De Moivre is met behulp van de formule van Euler uit te breiden tot willekeurige reële waarden van n . Licht dit toe.

Worteltrekken uit complexe getallen is lastiger dan uit het voorbeeld blijkt.
Er geldt namelijk: `3+4text(i)≈5text(e)^(0,93text(i) + k*2pi)` .

d

Laat zien dat hieruit volgt dat er eigenlijk twee complexe getallen zijn die de wortel uit `3+4text(i)` kunnen zijn.

En het wordt nog erger. Ook de bekende rekenregels voor wortels leveren problemen op.

e

Laat zien dat `sqrt(text(-)3) * sqrt(text(-)12) != sqrt(text(-)3 * text(-)12)` .

verder | terug