Complexe getallen > Formule van Euler
123456Formule van Euler

## Antwoorden van de opgaven

Opgave V1
a

f(varphi) = r(cos(φ)+text(i)sin(φ)) geeft f'(varphi) = text(-)r sin(φ) + r text(i)cos(φ) = text(i)(r cos(φ) + rtext(i)sin(φ)) .

b

Een e-macht, namelijk f(varphi) = text(e)^(text(i)varphi) .

Opgave 1
a

Of je zo mag differentiëren is nog maar de vraag; daarvoor moet je eerst meer theorie opbouwen!

b

$z = r ( cos ( φ ) + i sin ( φ ) ) = r ⋅ e i φ$

c

|z|=sqrt(2^2+2^2) = sqrt(8) en arg(z) = arctan(2/2) = 1/4pi .

$z = 8 ⋅ e 0,25 π i$

Opgave 2
a

|z|=sqrt(1^2+(text(-)1)^2) = sqrt(2) en arg(z) = arctan(text(-)1/1) = text(-)1/4 pi .

$z 1 = 2 ⋅ e - 0,25 π i$

b

|z|=sqrt((text(-)1)^2+1^2) = sqrt(2) en arg(z) = arctan(text(-)1/1) = 3/4 pi .

$z 2 = 2 ⋅ e 0,75 π i$

c

z_1*z_2 = sqrt(2)*text(e)^(text(-)0,25pi text(i)) * sqrt(2)*text(e)^(0,75pi text(i)) = sqrt(2)*sqrt(2)*text(e)^(text(-)0,25pi text(i) + 0,75pi text(i)) = 2*text(e)^(0,5pi text(i)) .

d

$z 1 ⋅ z 2 = 2 i$

e

text(e)^(0,5pi text(i)) = text(i) , want text(i) heeft lengte 1 en argument 0,5pi .

Opgave 3
a

Doen, stel de juiste waarden voor a en b in.

b

bar(z)=3-4text(i) , dus |bar(z)| = 5 en arg(bar(z))=arctan(text(-)4/3)~~text(-)0,93pi .

Dus bar(z)~~5text(e)^(text(-)0,93text(i)) .

Opgave 4
a

Doen, |z| ~~ 4,47 .

b

|z|=sqrt((text(-)4)^2+2^2)=sqrt(20) en arg(z)=pi+arctan(2/4)~~2,68 .

c

$z = 20 ⋅ e 2,68 i$

d

Doen, oefen met een medeleerling.

Opgave 5
a

Doen.

b

Oefen met een medeleerling.

c

z_1 * z_2 = r_1 * text(e)^(text(i)φ_1) * r_2 * text(e)^(text(i)φ_2) = r_1 * r_2 * text(e)^(text(i)(φ_1 + φ_2))
(z_1)/(z_2) = (r_1 * text(e)^(text(i)φ_1))/(r_2 * text(e)^(text(i)φ_2)) = (r_1)/(r_2) * text(e)^(text(i)(φ_1 - φ_2))

Opgave 6
a

Doen.

b

(1 + text(i))^5 = (sqrt(2)*text(e)^(1/4 pi text(i)))^5 = 4sqrt(2)*text(e)^(5/4 pi text(i))= 4sqrt(2)(cos(5/4 pi) + text(i)sin(5/4 pi)) = text(-)4-4text(i)

c

Klopt natuurlijk.

d

(cos(φ) + text(i)sin(φ))^n = (text(e)^(text(i)φ))^n = text(e)^(n*text(i)φ) = text(e)^(text(i)*nφ) = cos(nφ) + text(i)sin(nφ)

Opgave 7
a

Doen.

b

(2 + text(i))^2 = 4 + 4text(i) + (text(i))^2 = 3 + 4text(i)

c

$( e i φ ) n = e i n φ$

d

Je krijgt sqrt(3+4text(i)) = (3+4text(i))^(0,5) ~~ (5*text(e)^(0,93text(i)+k*2pi))^(0,5) = 5^(0,5)*text(e)^(0,5*0,93text(i)+k*pi) en dus krijg je z_1 = sqrt(5)text(e)^(0,46text(i)) vv z_1 = sqrt(5)text(e)^(0,46text(i)+pi) .

Dus krijg je behalve z_1 = 2 + text(i) ook als mogelijkheid z_1 = text(-)2 - text(i) .

e

sqrt(text(-)3) * sqrt(text(-)12) = text(i)sqrt(3) * text(i)sqrt(12) = text(i)^2*sqrt(3*12) = text(-)sqrt(36) = text(-)6 .

Maar sqrt(text(-)3 * text(-)12) = sqrt(36) = 6 .

Ook hier ontstaat het probleem doordat wortels uit complexe getallen niet éénduidig zijn. Bijvoorbeeld sqrt(text(-)3) is niet alleen gelijk aan text(i)sqrt(3) , maar ook aan text(-i)sqrt(3) .

De boodschap is om met wortels uit complexe getallen voorzichtig te zijn.

Opgave 8
a

$z = 2 e 0 i$

b

$z = 1 e 0,5 π i$

c

$z = 3 e 0,5 π i$

d

$z = 2 ⋅ e - 0,25 π i$

e

$z = 2 ⋅ e 0,75 π i$

f

$z = 2 2 ⋅ e - 0,75 π i$

Opgave 9

z = (1 + text(i))(0,5sqrt(3) + 0,5text(i)) = sqrt(2)*text(e)^(1/4 pi text(i))* 1*text(e)^(1/6 pi text(i))=sqrt(2)*text(e)^(5/12 pi text(i))

Opgave 10

$z 1 = 2 i ; z 2 = cos 1 + i sin 1 ; z 3 = - 3 + i 3 ; z 4 = - 1 ; z 5 = 1$

Opgave 11
a

2 - 2text(i) = sqrt(8)text(e)^(text(-)1/4 pi text(i)) en dus (2 - 2text(i))^5 = sqrt(8)^5 * text(e)^(text(-)5/4 pi text(i)) .

Dus (2 - 2text(i))^5 = text(-)128 + 128text(i) .

b

(2 - 3text(i))^5 = (sqrt(13)text(e)^(text(-)0,98... text(i)))^5 = (sqrt(13))^5 text(e)^(text(-)4,91... text(i)) .

Dus (2 - 3text(i))^5 =122+597text(i) (niet afronden tussentijds!).

Opgave 12

z = (2*text(e)^(0 text(i)))/(sqrt(2)^4*text(e)^(pi text(i)))=2/4*text(e)^(text(-)pi text(i))=text(-)0,5

Opgave 13Sinus en cosinus als e-macht
Sinus en cosinus als e-macht
a

Vervang varphi door text(-)varphi en gebruik sin(text(-)varphi) = text(-)sin(varphi) en cos(text(-)varphi) = cos(varphi) .

b

text(e)^(text(i)varphi)+text(e)^(text(-)text(i)varphi)=cos(varphi)+text(i)sin(varphi) + cos(varphi)-text(i)sin(varphi)=2cos(varphi)

c

$sin ( φ ) = - 0,5 i ( e i φ + e - i φ )$

Opgave 14
a

text(i) = 1*text(e)^(1/2 pi text(i)) en 3-5text(i) = sqrt(34)*text(e)^(text(-)1,030text(i))

z = sqrt(34)*text(e)^((1/2 pi - 1,030)text(i)) = 5+3text(i) (niet tussentijds afronden).

b

$z = 3 34 + 5 34 i$

c

$z = 738 - 684 i$

d

$z = - 0,5 + 0,5 i 3$