Elk complex getal kan worden geschreven als:
`z=x+text(i)y=r(cos(φ)+text(i)sin(φ))`
.
Wanneer
`r=1`
dan levert dit op:
`z=cos(φ)+text(i)sin(φ)`
.
Dit complexe getal ligt op een cirkel met straal
`1`
om de oorsprong van het complexe vlak. Als
`φ`
varieert van
`0`
tot
`2π`
dan doorloopt het complexe getal die hele cirkel.
Nu komt iets verrassends...
Stel, je vat
`cos(φ)+text(i)sin(φ)`
op als functie van
`φ`
. Vervolgens ga je deze functie differentiëren met behulp van de regels die voor reële
functies gelden. Je neemt aan dat
`text(i)`
een constante is.
Dus:
`f(φ)=cos(φ)+text(i)sin(φ)`
geeft:
`f'(φ)=text(-)sin(φ)+text(i)cos(φ)=text(i)(cos(φ)+text(i)sin(φ))`
.
Kennelijk geldt
`f'(φ)=text(i)·f(φ)`
.
Nu is er een reële functie die gelijk is aan zijn eigen afgeleide, namelijk de e-macht.
Je zou kunnen opschrijven: als
`g(φ)=text(e)^(text(i)φ)`
dan is
`g'(φ)=text(i)·text(e)^(text(i)φ)`
.
De functie
`f`
van hiervoor vertoont dan hetzelfde gedrag als
`g(φ)=text(e)^(text(i)φ)`
.
Euler bewees ook echt dat
`f(φ)=cos(φ)+text(i)sin(φ)=text(e)^(text(i)φ)`
.
Dit is de formule van Euler.
Bekijk in de
Waarom is er in de uitleg nog geen sprake van een echt bewijs van deze formule?
Leg uit dat deze formule betekent dat je elk complex getal kunt schrijven als
Schrijf in de vorm .
Neem het complexe getal .
Schrijf het complexe getal in de vorm `z_1 = r_1 *text(e)^(text(i)varphi_1)` .
Neem het complexe getal .
Schrijf dit complexe getal in de vorm `z_2 = r_2 *text(e)^(text(i)varphi_2)` .
Bereken met behulp van de schrijfwijze uit a en b.
Bereken door haakjes wegwerken.
Laat zien dat beide antwoorden uit c en d overeen komen.