Complexe getallen > Formule van Euler
123456Formule van Euler

Uitleg

Elk complex getal kan worden geschreven als: `z=x+text(i)y=r(cos(φ)+text(i)sin(φ))` .
Wanneer `r=1` dan levert dit op: `z=cos(φ)+text(i)sin(φ)` .
Dit complexe getal ligt op een cirkel met straal `1` om de oorsprong van het complexe vlak. Als `φ` varieert van `0` tot `2π` dan doorloopt het complexe getal die hele cirkel.

Nu komt iets verrassends...
Stel, je vat `cos(φ)+text(i)sin(φ)` op als functie van `φ` . Vervolgens ga je deze functie differentiëren met behulp van de regels die voor reële functies gelden. Je neemt aan dat `text(i)` een constante is.
Dus: `f(φ)=cos(φ)+text(i)sin(φ)`
geeft: `f'(φ)=text(-)sin(φ)+text(i)cos(φ)=text(i)(cos(φ)+text(i)sin(φ))` .
Kennelijk geldt `f'(φ)=text(i)·f(φ)` .
Nu is er een reële functie die gelijk is aan zijn eigen afgeleide, namelijk de e-macht.
Je zou kunnen opschrijven: als `g(φ)=text(e)^(text(i)φ)` dan is `g'(φ)=text(i)·text(e)^(text(i)φ)` .
De functie `f` van hiervoor vertoont dan hetzelfde gedrag als `g(φ)=text(e)^(text(i)φ)` .
Euler bewees ook echt dat `f(φ)=cos(φ)+text(i)sin(φ)=text(e)^(text(i)φ)` .
Dit is de formule van Euler.

Opgave 1

Bekijk in de Uitleg de formule van Euler: e i φ = cos ( φ ) + i sin ( φ ) . Een bewijs van deze formule is door Euler gegeven, maar valt buiten het bestek van dit onderwerp.

a

Waarom is er in de uitleg nog geen sprake van een echt bewijs van deze formule?

b

Leg uit dat deze formule betekent dat je elk complex getal kunt schrijven als z = r e i φ

c

Schrijf z = 2 + 2 i in de vorm z = r e i φ .

Opgave 2

Neem het complexe getal z 1 = 1 - i .

a

Schrijf het complexe getal in de vorm `z_1 = r_1 *text(e)^(text(i)varphi_1)` .

Neem het complexe getal z 2 = - 1 + i .

b

Schrijf dit complexe getal in de vorm `z_2 = r_2 *text(e)^(text(i)varphi_2)` .

c

Bereken z 1 z 2 met behulp van de schrijfwijze uit a en b.

d

Bereken z 1 z 2 = ( 1 - i ) ( - 1 + i ) door haakjes wegwerken.

e

Laat zien dat beide antwoorden uit c en d overeen komen.

verder | terug