Complexe getallen > VergelijkingenToepassen
De formule van Cardano is vergelijkbaar met de abc-formule, maar dan voor een vergelijking
als
`x^3 + px = q`
. De oplossing uit de tijd van Girolamo Cardano (1501 - 1576) was meetkundig, hier zie je hem in beeld. Hij verdeelt
`px`
in drie balken en bouwt zo door een kubusje met inhoud
`v`
toe te voegen een kubus met inhoud
`t`
. Nu is
`t – v = q`
. Verder is
`root[3](t)−root[3](v)=x`
. En ook is
`root[3](t) * root[3](v) * x = px`
de inhoud van één balkje, dus
`t · v = p^3`
.
Uit
`t – v = q`
en
`t · v = p^3`
kun je afleiden dat
`t = 1/2 q + sqrt(1/4 q^2 + 1/27 p^3)`
en
`v = text(-)1/2q + sqrt(1/4 q^2 + 1/27 p^3)`
.
Hieruit vind je
`x = root[3](1/2 q + sqrt(1/4q^2+1/27p^3)) - root[3](text(-)1/2 q + sqrt(1/4q^2 + 1/27p^3))`
.
Dit is de formule van Cardano, hoewel hij voor het eerst door Scipio del Ferro is
ontdekt. Je vindt er één oplossing van de gegeven vergelijking mee.
Schrijf zelf deze afleiding volledig uit.
Bepaal hiermee een reële oplossing van de vergelijking .
Hoe kun je nu de twee complexe oplossingen vinden? Bepaal ze.
Deze methode werkt alleen als er geen `x^2` in de derdegraadsvergelijking staat en de coëfficiënt voor `x^3` gelijk is aan `1` .
Hoe kun je nu toch met behulp van de formule van Cardano een oplossing vinden voor een vergelijking van de vorm `ax^3+bx^2+cx+d=0` ?
Los exact op: `3 x^3+11 x^2+32 x-12 =0`