Complexe getallen > VergelijkingenUitleg
Van het oplossen van vergelijkingen met complexe getallen heb je al het nodige gezien. Sterker nog: complexe getallen zijn ingevoerd om vergelijkingen te kunnen oplossen die tot dan toe onoplosbaar waren.
De oplossing van `z^2 = text(-)1` is (per definitie): `z = text(-i) vv z = text(i)` .
Maar hoe zit het nu met een vergelijking als
`z^4 = text(-)1`
?
Welnu: daar helpt de formule van Euler.
Schrijf
`text(-)1`
in de poolvoorstelling
`text(-)1 = 1*text(e)^(pi text(i) + k*2pi text(i))`
.
De vergelijking wordt dan
`z^4 = 1*text(e)^(pi text(i) + k*2pi text(i))`
.
Dit geeft
`z = (1*text(e)^(pi text(i) + k*2pi text(i)))^(1/4) = 1*text(e)^(0,25pi text(i) + k*0,5pi
text(i))`
.
En dit levert maar liefst vier verschillende waarden voor
`z`
op:
-
`z_1 = 1*text(e)^(0,25pi text(i))`
-
`z_2 = 1*text(e)^(0,75pi text(i))`
-
`z_3 = 1*text(e)^(1,25pi text(i))`
-
`z_4 = 1*text(e)^(1,75pi text(i))`
En als dat wordt gevraagd kun je deze antwoorden in de vorm `z = x + text(i)y` zetten. Je krijgt dan vaak wel benaderingen.
In de
Bepaal zelf deze oplossing en schrijf alle vier de `z` -waarden in de vorm `x + text(i)y` .
Los op dezelfde manier op .
Er zijn ook vergelijkingen waarin al meteen complexe getallen voorkomen, zoals `(1 + text(i))z = 2 - 2text(i)` . Dergelijke vergelijkingen los je net zo op als je altijd gewend bent: met de balansmethode.
Waarom is hier de oplossing `z = (2 - 2text(i))/(1 + text(i))` ?
Meestal wil je een oplossing hebben in de vorm `x + text(i)y` , pas dan heb je een complex getal als oplossing. Welke oplossing heeft deze vergelijking dus?
Los ook met de balansmethode op: `(1 + text(i))z = 2z - 2text(i)`