Complexe getallen > Complexe functies
123456Complexe functies

Antwoorden van de opgaven

Opgave V1
a

`f(1+2text(i))=2+4text(i)`

b

`f(1+2text(i))=text(-)2+text(i)`

c

`f(1+2text(i))=text(i)`

d

`f(1+2text(i))=text(-)3+4text(i)`

e

`f(1+2text(i))=1/(1+2text(i))=0,2-0,4text(i)`

Opgave 1
a

`f(text(-i))=text(-i)+3 +2 text(i)= 3 +text(i)`
`f(2 -text(i))=2 - text(i)+3 +2 text(i)= 5 +text(i)`
`f(2 +3 text(i))=2+3 text(i)+3 +2 text(i)= 5 +5 text(i)`
`f(3 text(i))=3text(i)+3 +2 text(i)=3 +5 text(i)`

b

Functie `f` telt bij elke `z` uit het domein het complexe getal `3+2i` op. Het bereik is daarom `text(B)_f=[3, 5]xx[1, 5]` .

c

Een cirkel met middelpunt 3 + 2 i en straal 2 .

d

Verschuiving van a in x -richting en b in y -richting.

Opgave 2
a

`g(text(-i))= (1 + text(i))*text(-i) =1 -text(i)`
`g(2 -text(i))=(1 +text(i))*(2-text(i)) =3 +text(i)`
`g(2 +3 text(i))=(1 +text(i))*(2 + 3text(i)) =text(-)1 +5 text(i)`
`g(3 text(i))=(1 +text(i))*3text(i) =text(-)3 +3text(i)`

b

Een rechthoek met de uitkomsten bij a als hoekpunten.

c

Alle waarden van z met | z | 2 2 .

d

alle waarden van z met `|z| le 2sqrt(2)` en `0,25pi le text(arg)(z) le 0,75pi"`

e

Draaiing van 0,25 π en vermenigvuldigen met 2 .

Opgave 3
a

Een draaivermenigvuldiging om de oorsprong met factor `sqrt(2)` en draaihoek `1/4pi` en een translatie over vector `((3),(2))`

b

`f(text(-i))= (1 +text(i))* text(-)text(i)+3 +2text(i) = 4 +text(i)`
`f(2 - text(i))=(1 +text(i))* (2-text(i))+3 +2text(i)=6 +3text(i)`
`f(2 +3 text(i))=(1 +text(i))*(2+3 text(i))+3 +2text(i)=2 +7 text(i)`
`f(3 text(i))=(1 +text(i))* 3text(i)+3 +2text(i)=5 text(i)`

c

Dat is een rechthoek met hoekpunten `4+text(i)` , `6+3text(i)` , `2+7text(i)` en `5text(i)` .

Opgave 4
a

`g(0 )= 2 text(i)*0+3 -text(i) =3 -text(i)`
`g(3 )=2 text(i)*3+3 -text(i) =3 +5 text(i)`
`g(3 text(i))=2 text(i)*3text(i)+3 -text(i) =text(-)3 -text(i)`

b

Een draaivermenigvuldiging om de oorsprong met factor `|2text(i)| = 2` en draaihoek `text(arg)(2text(i))=1/2pi` , een translatie over vector `((3),(text(-)1))` (translatie van `3` ten opzichte van de `y` -as en een translatie van `text(-)1` ten opzichte van de `x` -as).

c

Het domein van `g` is een kwart cirkel tussen de `x` -as en `y` -as met straal `3` .
Voor het bereik wordt deze kwartcirkel `1/2pi` gedraaid en de straal wordt twee keer zo groot. Het middelpunt wordt verschoven naar `(3, text(-)1)` .

Opgave 5
a

`z_1 = 0`
`z_2 = 2(cos(1/4pi)+sin(1/4pi)text(i)) = sqrt(2)+ sqrt(2)text(i)`
`z_3 = 2(cos(text(-)1/4pi) + sin(text(-)1/4pi)text(i)) = sqrt(2) -sqrt(2)text(i)`

b

`f(0 )=0^2 = 0`
`f(sqrt(2 )+sqrt(2)text(i))= (sqrt(2)+sqrt(2)text(i))^2= 2 + 2*2*text(i) +2text(i)^2 =4 text(i)`
`f(sqrt(2)-sqrt(2)text(i))=(sqrt(2)-sqrt(2)text(i))^2= 2 - 2*2*text(i) +2text(i)^2=text(-)4 text(i)`

c

( 2 + b i ) 2 = 4 - b 2 + 4 b i wordt parabool van 8 i naar - 8 i en top ( 4 , 0 )

Opgave 6
a

f ( 2 ) = 0,5 en f ( 2 i ) = - 0,5 i

b

1 0 is niet gedefinieerd

c

`|f(z)| = 1 / (|z|)`
Als `|z| le 2` volgt daaruit `|f(z)| ge 1/2` .
`text(arg)(f(z)) = text(-arg)(z)`
Als `0 le text(arg)(z) le 1/2pi` volgt daaruit `text(-)1/2 π≤text(arg)(f(z))≤0` .

d

`|f(z)|≥1/4` en `text(-)pi ≤ text(arg)(f(z)) le 0`

Opgave 7
a

`f(0 )=2 text(i)*0+1 -text(i)=1 -text(i)`
`f(3 )=2 text(i)*3+1 -text(i)=1 +5 text(i)`
`f(2 text(i))=2 text(i)*2text(i)+1 -text(i)=text(-)3 -text(i)`
`f(3 +2 text(i))=2 text(i)(3+2text(i))+1 -text(i)=text(-)3 +5 text(i)`

b

Het bereik is een rechthoek met de uitkomsten uit a als hoekpunten.
`text(B)_f=[text(-)3, 1]xx[text(-)1, 5]`

c

Een draaivermenigvuldiging om de oorsprong met factor `abs(2text(i))=2` en draaihoek `text(arg)(2text(i))=1/2pi` en een translatie over vector `((1),(text(-)1))` (translatie van `1` ten opzichte van de `y` -as en een translatie van `text(-)1` ten opzichte van de `x` -as.

d

Herleid de functie met `z = x + ytext(i)` .
`f(z)=2 text(i)z+1 -text(i) = 2text(i)*(x + ytext(i))+1 - text(i) = (1 -2 y)+(2 x-1 )text(i)`
Het domein van `f(z)` is `0 le x le 3` en `0 le y le 2` .
Dit geeft het bereik `text(-)3 ≤ 1 - 2 y ≤ 1` en `text(-)1 ≤ 2 x-1 ≤ 5` .

Opgave 8
a

Het domein is een vierkant van `3` bij `3` met als middelpunt `O` .
`f(z)` ontstaat door een draaiing van `1/2pi` en een vermenigvuldiging van `2` .
Het bereik is daarom een vierkant van `12` bij `12` met als middelpunt `O` .

b

`g(z)` ontstaat door een translatie van `text(-)2` ten opzichte van de `x` -as en een translatie van `1` ten opzichte van de `y` -as.
Het bereik is `[text(-)2, 4]xx[text(-)5, 1]` .

c

Het domein is een vierkant met hoekpunten `text(-)3-3text(i)` , `3-3text(i)` , `3+3text(i)` en `text(-)3+3text(i)` .
`f(text(-)3-3text(i))=text(-)1-12text(i)`
`f(3-3text(i))=11`
`f(3+3text(i))=text(-)1+12text(i)`
`f(text(-)3+3text(i))=text(-)13`
Het bereik is een vierkant met hoekpunten `text(-)1 +12text(i)` , `11` , `text(-)13` en `text(-)1 -12text(i)` .

d

`k(z)=z/(1+text(i))=1/2(1-text(i))z`

Het domein is een vierkant met hoekpunten `text(-)3-3text(i)` , `3-3text(i)` , `3+3text(i)` en `text(-)3+3text(i)` .
`f(text(-)3-3text(i))=text(-)3`
`f(3-3text(i))=text(-)3text(i)`
`f(3+3text(i))=3`
`f(text(-)3+3text(i))=3text(i)`
Het bereik is een vierkant met hoekpunten `3` , `text(-)3` , `3text(i)` en `text(-)3 text(i)` .

Opgave 9
a

`|f(z)|≤8` en `3/4 π≤text(arg)(f(z))≤2 1/4 π`

b

Als alle `z` op een lijn door `O` liggen, dan is `text(arg)(z)` en ook `text(arg)(z^3)=3text(arg)(z)` constant.

c

Dan liggen de functiewaarden niet op een rechte lijn.

Opgave 10
a

`f(2text(i))=sqrt(2text(i))=sqrt(2text(e)^(1/2pi text(i)))=(2text(e)^(1/2pi text(i)))^(1/2)=sqrt(2)text(e)^(1/4pi text(i))=1+text(i)`
`f(text(-)2text(i))=sqrt(text(-)2text(i))=sqrt(2text(e)^(text(-)1/2pi text(i)))=(2text(e)^(1/2pi text(i)))^(1/2)=sqrt(2)text(e)^(text(-)1/4pi text(i))=1-text(i)`

b

`|z| le 2` en dit geeft `|f(z)| le sqrt(2)` .
`text(arg)(f(z))=1/2text(arg)(z)` en dit geeft `text(-)1/4pi le text(arg)(f(z)) le 1/4pi` .

Je krijgt een kwart cirkel met straal `sqrt(2)` en als "hoekpunten" `1-text(i)` en `1+text(i)` .

Opgave 11

Er wordt op `z` een draaivermenigvuldiging gedaan met een factor van `sqrt(2)` en een draaihoek van `1/4pi` . Daarna wordt er een translatie van `2` ten opzichte van de `x` -as toegepast.
De zijden van het vierkant worden daarom `sqrt(2)` keer zo groot.
De oppervlakte van het bereik is daarom `25*sqrt(2)*sqrt(2)=50` .

Opgave 12Complexe e-macht
Complexe e-macht
a

`text(e)^(1+pitext(i))=text(e)^1*text(e)^(pitext(i)) = text(e) * text(-)1 = text(-e)`

`text(e)^(1+0,5pitext(i))=text(e)^1*text(e)^(0,5pitext(i)) = text(e) * text(i) = text(ei)`

b

`f(x+ytext(i)) = text(e)^(x+ytext(i))=text(e)^x*text(e)^(ytext(i))` , dus `|f(z)| = text(e)^x` en `arg(f(z))=y` .

c

Het argument `y` kan alle waarden aannemen, maar bij `y=p+k*2pi` horen steeds dezelfde hoofdwaarden van het argument.

Bijvoorbeeld `z=x+ptext(i)` en `z=x+(p + 2pi)text(i)` leveren dezelfde functiewaarde op.

d

Het binnengebied van een cirkel om O met straal 2

e

D f = [ - 2 , 2 ] × [ - π , π ]

f

`ln(text(i)) = ln(text(e)^(0,5pi)) = 0,5pi`

`ln(text(-)1) = ln(text(e)^(pi)) = pi`

g

g ( 1 + i ) = ln ( 2 ) + 0,25 π i ; g ( 3 i ) = ln ( 3 ) + π i ; g ( 2 - 2 i ) = ln ( 8 ) - 0,25 π i

h

Alle complexe getallen x + i y liggen op lijnen van de vorm y = k π en x ln ( 2 ) .

Opgave 13
a

f ( 0 ) = - i ; f ( i ) = 2 - ( 2 + 2 3 ) i ; f ( 3 i ) = 3 3 + 2 i ; f ( 2 + 3 i ) = 2 + 3 3 + ( 2 - 2 3 ) i

b

Een rechthoek met hoekpunten 2 + 3 3 + ( 2 - 2 3 ) i , etc.

c

Een draaiing van - 1 3 π en vermenigvuldigen met 2 en verschuiving van - 1 in de y -richting.

d

z = - 1 3 3

Opgave 14
a

| f ( z ) | 9 en `text(-)0,5pi le text(arg)(f(z)) le 0,5pi` .

b

| f ( z ) | 15 en `text(-)0,05pi le text(arg)(f(z)) le 0,55pi` .

c

Een cirkelsector met middelpunt 3 - i , straal 1,5 en `0,25pi le text(arg)(f(z)) le 0,75pi` .

verder | terug