Complexe getallen > Complexe functies
123456Complexe functies

Toepassen

Opgave 12Complexe e-macht
Complexe e-macht

De functie `f(z)=text(e)^z` is de complexe e-machtsfunctie. Hij is periodiek.

Stel `z=a+btext(i)` en `a` kies je uit `[text(-)1, 1]` en `b` uit `[text(-)10, 10]` .
Het domein van `f` wordt dan de rechthoek `[text(-)1, 1]×[text(-)10, 10]` .
In de applet zie je `z` en `z_(f)=f(z)` bij dit domein.
Het bereik wordt het gebied tussen de twee (blauwe) cirkels om `O` .

Dat is gemakkelijk in te zien, want
`f(z)=text(e)^(a+btext(i))=text(e)^a · text(e)^(btext(i))` .
Voor de functiewaarden geldt dus `|f(z)|=text(e)^a` en
`text(arg)(f(z))=b` .
De twee cirkels die het bereik bepalen hebben straal `e^(text(-)1)` en `text(e)^1` .

De periodiciteit van `f(z)` blijkt als je alleen `b` verandert: `f(a+btext(i))=f(a+(b+2π)text(i))` .

Op dezelfde wijze kun je de complexe functie `g(z)=ln(z)` bestuderen.
Dan merk je dat het handiger is om uit te gaan van `z=r text(e)^(text(i)φ)` ...

a

Laat zien, dat e 1 + π i = -e en dat e 1 + 0,5 π i = ei .

b

Neem z = x + i y en laat zien dat: | f ( z ) | = e x en arg ( f ( z ) ) = y .

c

Waarom is f een periodieke functie? Geef twee voorbeelden van complexe getallen die dezelfde functiewaarde hebben.

d

Neem als domein D f = [ - 2 , 2 ] × [ - 4 , 4 ] en teken het bijpassende bereik.

e

Wat is het kleinste domein dat hetzelfde bereik heeft?

f

Bekijk nu de complexe functie g met g ( z ) = ln ( z ) . Nu kun je complexe getallen het beste schrijven in de vorm z = r e i φ . Laat zien dat ln ( i ) = 0,5 π en dat ln ( - 1 ) = π .

g

Bereken nu exact: g ( 1 + i ) , g ( 3 i ) en g ( 2 - 2 i ) .

h

Neem als domein alle reële getallen met | z | 2 . Bepaal het bijbehorende bereik.

verder | terug