Complexe getallen

Complexe getallen > Complexe functies

123456Complexe functies

Toepassen

Opgave 12Complexe e-macht

Complexe e-macht

De functie `f(z)=text(e)^z` is de complexe e-machtsfunctie. Hij is periodiek.

Stel `z=a+btext(i)` en `a` kies je uit `[text(-)1, 1]` en `b` uit `[text(-)10, 10]` .
Het domein van `f` wordt dan de rechthoek `[text(-)1, 1]×[text(-)10, 10]` .
In de applet zie je `z` en `z_(f)=f(z)` bij dit domein.
Het bereik wordt het gebied tussen de twee (blauwe) cirkels om `O` .

Dat is gemakkelijk in te zien, want
`f(z)=text(e)^(a+btext(i))=text(e)^a · text(e)^(btext(i))` .
Voor de functiewaarden geldt dus `|f(z)|=text(e)^a` en
`text(arg)(f(z))=b` .
De twee cirkels die het bereik bepalen hebben straal `e^(text(-)1)` en `text(e)^1` .

De periodiciteit van `f(z)` blijkt als je alleen `b` verandert: `f(a+btext(i))=f(a+(b+2π)text(i))` .

Op dezelfde wijze kun je de complexe functie `g(z)=ln(z)` bestuderen.
Dan merk je dat het handiger is om uit te gaan van `z=r text(e)^(text(i)φ)` ...

Laat zien, dat $e^{1 + π i} = -e$ en dat $e^{1 + 0,5 π i} = ei$ .

Neem $z = x + i y$ en laat zien dat: $| f (z) | = e^{x}$ en $arg (f (z)) = y$ .

Waarom is $f$ een periodieke functie? Geef twee voorbeelden van complexe getallen die dezelfde functiewaarde hebben.

Neem als domein $D_{f} = [- 2, 2] \times [- 4, 4]$ en teken het bijpassende bereik.

Wat is het kleinste domein dat hetzelfde bereik heeft?

Bekijk nu de complexe functie $g$ met $g (z) = ln (z)$ . Nu kun je complexe getallen het beste schrijven in de vorm $z = r e^{i φ}$ . Laat zien dat $ln (i) = 0,5 π$ en dat $ln (- 1) = π$ .

Bereken nu exact: $g (1 + i), g (3 i)$ en $g (2 - 2 i)$ .

Neem als domein alle reële getallen met $| z | \leq 2$ . Bepaal het bijbehorende bereik.

verder | terug