Complexe getallen > Complexe functies
123456Complexe functies

Voorbeeld 1

Bekijk de applet

Gegeven is de complexe functie `f(z)=(1+text(i))z+3+2text(i)`
Het domein bestaat uit alle waarden van `z` met `|z| le 2` en `text(-)0,5π le text(arg) (z) le 0,5pi` .
Teken het domein en het bereik van `f` in één figuur.

> antwoord

Het domein is het binnengebied en de rand van een halve cirkel met straal `2` en middelpunt `O` .
Het getal `z` kan nu gemakkelijk worden voorgesteld door `z=r text(e)^(text(i)φ)` . Ga na dat elke `z` die voldoet aan de voorwaarden binnen het rode gebied blijft.

De functie is een lineaire complexe functie.
De vermenigvuldiging met `1+text(i)` zorgt voor een draaivermenigvuldiging om `O` met factor `|1+text(i)|=2` en draaihoek `text(arg)(1+text(i))=0,25π` .
Het optellen van `3+2text(i)` zorgt voor een verschuiving over vector ( 3 2 ) .
Ga na, dat `z_(f)=f(z)` steeds binnen het (blauwe) bereik blijft.

Opgave 2

In Voorbeeld 1 zie je hoe bij de functie f met f ( z ) = ( 1 + i ) z + 3 + 2 i en een gegeven domein het bereik wordt bepaald.

a

Neem nu als domein D f = [ 0 , 2 ] × [ - 1 , 3 ] . Welke draaivermenigvuldiging en welke verschuiving moet je toepassen om het bereik te krijgen? Teken B f .

b

Bereken f ( -i ) , f ( 2 - i ) , f ( 2 + 3 i ) en f ( 3 i ) . Laat zien dat deze functiewaarden inderdaad de hoekpunten van B f zijn.

Opgave 3

Gegeven is de lineaire complexe functie g met g ( z ) = 2 i z + 3 - i . Neem als domein alle complexe getallen waarvoor | z | 3 en 0 arg ( z ) 0 , 5 π .

a

Bereken g ( 0 ) , g ( 3 ) en g ( 3 i ) .

b

Teken het bijbehorende bereik.

c

Met welke draaivermenigvuldiging en welke verschuiving kan het bereik ontstaan uit het gegeven domein?

verder | terug