Complexe getallen > Complexe functies
123456Complexe functies

Voorbeeld 3

Bekijk de applet

Gegeven is de complexe functie `f(z)=1/z` .
Het domein bestaat uit alle waarden van `z` met `|z| le 2` en `0 le text(arg)(z) le 0,5pi` .
Teken het domein en het bereik van `f` in één figuur.
Welke waarden van `z` blijven even ver van de oorsprong afliggen?

> antwoord

Het domein is het binnengebied en de rand van een kwart cirkel met straal `2` en middelpunt `O` . Het getal `z` stel je voor door `z=re^(text(i)φ)` . Ga na dat elke `z` die voldoet aan de voorwaarden binnen het rode gebied blijft.
Omdat `z=rtext(e)^(text(i)φ)` geldt: `1/z=1/r text(e)^(text(-i)φ)` .
Dus `|f(z)|=1/(|z|)` en `text(arg)(f(z))=text(-)text(arg)(z)` .
Dit geldt ook voor de punten op de rand van het domein. En daarom wordt het bereik het buitengebied van een kwartcirkel met straal 1 2 en begrensd door de positieve `x` -as en de negatieve `y` -as. Ga na, dat `z_(f)=f(z)` steeds binnen het (blauw begrensde) bereik blijft.

De `z` -waarden met `|z|=1` houden dezelfde afstand tot `O` .

Opgave 5

In Voorbeeld 3 zie je hoe je bij f ( z ) = 1 z bij een gegeven domein het bereik bepaalt. De complexe getallen z = 0 , z = 2 en z = 2 i vormen de "hoekpunten" van het gegeven domein.

a

Bereken f ( 2 ) en f ( 2 i ) .

b

Welke moeilijkheid doet zich voor bij het berekenen van f ( 0 ) ?

c

Beschrijf het bereik op dezelfde manier als het gegeven domein.

d

Neem nu als domein alle complexe getallen z = 2 + b i met | b | 2 . Schets het bijbehorende bereik.

verder | terug