Gegeven is de complexe functie
`f(z)=1/z`
.
Het domein bestaat uit alle waarden van
`z`
met
`|z| le 2`
en
`0 le text(arg)(z) le 0,5pi`
.
Teken het domein en het bereik van
`f`
in één figuur.
Welke waarden van
`z`
blijven even ver van de oorsprong afliggen?
Het domein is het binnengebied en de rand van een kwart cirkel met straal
`2`
en middelpunt
`O`
. Het getal
`z`
stel je voor door
`z=rtext(e)^(text(i)φ)`
. Ga na dat elke
`z`
die voldoet aan de voorwaarden binnen het rode gebied blijft.
Omdat
`z=rtext(e)^(text(i)φ)`
geldt:
`1/z=1/r text(e)^(text(-i)φ)`
.
Dus
`|f(z)|=1/(|z|)`
en
`text(arg)(f(z))=text(-)text(arg)(z)`
.
Dit geldt ook voor de punten op de rand van het domein. En daarom wordt het bereik
het buitengebied van een kwartcirkel met straal en begrensd door de positieve
`x`
-as en de negatieve
`y`
-as. Ga na, dat
`z_(f)=f(z)`
steeds binnen het (blauw begrensde) bereik blijft.
De `z` -waarden met `|z|=1` houden dezelfde afstand tot `O` .
In
Bereken en .
Welke moeilijkheid doet zich voor bij het berekenen van ?
Beschrijf het bereik op dezelfde manier als het gegeven domein.
Neem als domein alle waarden van
`z`
met
`|z| le 4`
en
`0 le text(arg)(z) le pi`
.
Beschrijf het bereik.