Complexe getallen > Complexe functies
123456Complexe functies

Uitleg

Bekijk de applet

Als van de complexe variabele `z=a+btext(i)` het reële deel kan variëren vanaf `0` t/m `2` en het imaginaire deel vanaf `text(-)1` t/m `3` , dan ligt `z` binnen het gebied `[0, 2]×[text(-)1, 3]` van het complexe vlak. Dat is een rechthoekje.

De functie `g` met voorschrift `g(z)=(1+text(i))·z` heeft `[0, 2]×[text(-)1, 3]` als domein. Deze functie vermenigvuldigt elke `z` uit het domein met het complexe getal `1+text(i)` .
Het resultaat (het bereik van `g` ) is dat elke `|z|` wordt vermenigvuldigd met `|1+text(i)|=2` en bij `text(arg)(z)` telkens `text(arg)(1+text(i))=1/4π` wordt opgeteld. Er vindt dus t.o.v. van de oorsprong `O` een vergroting met 2 en een rotatie (draaiing) over `1/4 π` plaats. Dit noem je een draaivermenigvuldiging.

Je ziet hier domein (rood) en bereik (blauw) in één figuur.
`z_g` stelt de functiewaarde `g(z)` voor. Domein en bereik overlappen elkaar. Dat is natuurlijk heel vaak het geval. Het domein van de functie kan wel het gehele complexe vlak beslaan en het bereik is ook (een deel van) het complexe vlak. Meestal is het beter om twee afzonderlijke complexe vlakken te tekenen.

Opgave

In de Uitleg 2 wordt de complexe functie g met g ( z ) = ( 1 + i ) z bekeken.

a

Bereken g ( -i ) , g ( 2 - i ) , g ( 2 + 3 i ) en g ( 3 i ) . Bekijk in de applet hoe die functiewaarden ontstaan uit de gegeven z-waarden.

b

Als D g = [ 0 , 2 ] × [ - 1 , 3 ] wat is dan B g ? (Je kunt het bereik nu niet op dezelfde wijze beschrijven als het domein, maar je kunt het wel omschrijven.) Ga met de applet na, dat elk punt in het domein van g een functiewaarde heeft in het bereik van g .

c

Als D g bestaat uit alle waarden van z met | z | 2 , wat is dan B g ?

d

Als D g bestaat uit alle waarden van z met | z | 2 en `0 le text(arg)(z) le 0,5pi` , wat is dan B g ?

e

Hoe ontstaat g ( z ) = ( a + b i ) z uit z ?

verder | terug