`text(Re)(z)=31` en `text(Im)(z)=34` .
`text(Re)(z)=24` en `text(Im)(z)=32` .
`text(Re)(z)=text(-)0,56` en `text(Im)(z)=0,08` .
Gebruik de abc-formule: `z=1-1/4sqrt(56)text(i) vv z=1+1/4sqrt(56)text(i)` .
Gebruik `z^4=1 - text(i) =sqrt(2)text(e)^((text(-)1/4pi+k*2pi) text(i))` .
`z ≈1,07 -0,21text(i) vv z ≈ 0,21 +1,07text(i) vv z ≈ text(-)1,07 +0,21text(i) vv z ≈ text(-)0,21 -1,07 text(i)`
`text(i) (z-text(i)) ^2=16`
geeft
`(z-text(i))^2=text(-)16text(i)=16text(e)^((1 1/2pi+k*2pi) text(i))`
.
`z=text(-)2sqrt(2)+(1+2sqrt(2))text(i) vv z=2sqrt(2)+(1-2sqrt(2))text(i)`
.
`text(i)z+2 =4 text(i)-2 z` geeft `(2+text(i))z = 4text(i)-2` en `z=(4text(i)-2)/(2+text(i))` . Herleiden geeft `z=2 text(i)` .
`(z+2-text(i))^3=2text(e)^((1/3pi+k*2pi)text(i))`
geeft
`z+2-text(i)=root(3)(2)text(e)^((1/9pi+k*2/3pi)text(i))`
en
`z=text(-)2+text(i)+root(3)(2)text(e)^((1/9pi+k*2/3pi)text(i))`
.
`z~~text(-)0,82+1,43text(i) vv z~~text(-)2,97+1,81text(i) vv z~~text(-)2,22-0,24text(i)`
Schrijf
`z=x+text(i)y`
.
`|z-1|=|x-1+text(i)y|=sqrt((x-1)^2+y^2)=3`
en dus
`(x-1)^2+y^2=9`
.
Dit is een cirkel met middelpunt
`(1, 0)`
en straal
`3`
.
Er wordt op
`z`
een draaivermenigvuldiging uitgevoerd met een factor van
`sqrt(5)`
en een draaihoek van ongeveer
`1,11`
. (De draaiing heeft geen effect op de oppervlakte.)
Het domein heeft daarom een oppervlakte van
`(64pi)/((sqrt(5))^2)=12,8pi`
.
Merk op dat als
`text(Arg)(z) ge 1/2pi`
, dat dan
`1/2pi le text(arg)(z) le pi`
.
De vermenigvuldiging met
`text(i)`
zorgt voor een draaivermenigvuldiging om
`O`
met factor
`1`
en een draaihoek
`text(arg)(text(i))=1/2π`
.
Het optellen van
`1-text(i)`
zorgt voor een translatie over vector
`((1),(text(-)1))`
.
Het bereik is een cirkelsector met middelpunt
`1-text(i)`
en straal
`3`
met
`pi le text(arg)(f(z)) le 1 1/2pi`
.
Los op:
`f(z) = bar(z+1)=a+1-btext(i)`
.
Je vindt:
`a=text(-)3`
en
`b=text(-)1`
.
Het bereik is een rechthoek met hoekpunten `0,5 -0,5text(i)` ; ` 2,5 +1,5text(i) ` ; ` 1,5 -1,5 text(i)` en `3,5 +0,5text(i)` .
De kromme is een cirkel met straal om
Met de draaihoek `arg(z)=t` verandert ook `|z| = 0,1t` gelijkmatig mee.
met `r` een constante.
Hier is `|z|=(2t)/(1+t)` . Deze lengte van al de complexe getallen die door de gegeven formule worden beschreven is dus een lineair gebroken functie met `|z(0)|=0` en die voor groter wordende waarden van `t` nadert naar de asymptoot `|z|=2` . Je krijgt zo een spiraal vanuit `z=0` die steeds dichter naar de cirkel `|z|=2` toe beweegt.
Eigen antwoord.
Neem aan `sin(alpha)=alpha` .
Dan is `m*a = text(-)mg alpha(t)` en `m*s''=text(-)mg alpha(t)` .
`s = l*alpha(t)` geeft `s''=l*alpha''(t)` , dus `m*alpha''(t)=text(-)mg alpha(t)` .
In `l·α''(t)=text(-)g·α(t)` beide zijden delen door `l` .
`alpha(t) = r text(e)^(text(i)ct)` geeft `alpha'(t) = text(i)cr text(e)^(text(i)ct)` en `alpha''(t) = text(i)^2c^2r text(e)^(text(i)ct)` .
Dus `text(-)c^2r text(e)^(text(i)ct) = text(-)g/l * r text(e)^(text(i)ct)` en `c^2 = g/l` .
en
`alpha(t) = r text(e)^(text(i)*sqrt(g/l)*t) = r cos(sqrt(g/l)*t) + r text(i) sin(sqrt(g/l)*t)`
`text(Re)(alpha(t)) = r cos(sqrt(g/l)*t)` en dat is een zuiver sinusoïde.
`l=1` en `g~~9,81` geeft `sqrt(g/l)~~3,13` .
Dus .
`F=m*s''=text(-)mg alpha(t) - k*l*alpha'(t)` geeft `ml alpha''(t) + kl alpha'(t) = text(-)mg alpha(t)` .
`alpha(t) = text(e)^(zt)` geeft `alpha'(t) = z*text(e)^(zt)` en `alpha''(t) = z^2 text(e)^(zt)` .
Dit invullen in de d.v. geeft `mlz^2 + klz = text(-)mg` .
`mlz^2 + klz = text(-)mg` geeft `0,5z^2 + 0,1z + 0,5*9,81=0` ofwel `5z^2 + z + 49,05 = 0` .
Met de abc-formule: `z ~~ text(-)0,1 +- 3,13text(i)` .
Dit levert bijvoorbeeld op: `alpha(t) = text(e)^(zt) = text(e)^(text(-)0,1t + 3,13t text(i)) = text(e)^(text(-)0,1t)*(cos(3,13t)+text(i)sin(3,13t))` .
Het reële deel is , dat is een gedempte sinusoïde.
Eigen antwoord.
Doen, volg de opbouw in de figuren.
`f(z_1) = f(0) = 0`
`f(z_2) = f(4) = 4+4text(i)`
Het beeldlijnstuk ligt tussen beide punten in.
factor en draaihoek
Nu vindt er ook nog een verschuiving van in -richting en in de -richting plaats
Ga na, dat je inderdaad een figuur krijgt zoals de Levy-fractal.
Eigen onderzoek...
Hier zie je een begin van de `H` -fractal.