Complexe getallen > Totaalbeeld
123456Totaalbeeld

Toepassen

Opgave 7Vlakke krommen
Vlakke krommen

Met behulp van complexe getallen kun je krommen in het complex vlak beschrijven.

In de notatie van Euler is het namelijk goed mogelijk om en/of te variëren. Beide kunnen bijvoorbeeld worden opgevat als functie van een parameter . Afhankelijk van krijg je dan telkens een nieuw punt in het assenstelsel. Die punten kunnen allerlei krommen vormen. Een cirkel maken is zo heel gemakkelijk, toch?

Als je laat toenemen zie je hier (punten van) de kromme ontstaan waarvoor geldt .

a

Teken de kromme die wordt beschreven door: z = 5 e i φ .

b

Doe hetzelfde als: z = t e i φ .

c

Hoe kun je met behulp van complexe getallen een cirkel beschrijven?

d

Hoe kun je een ellips beschrijven?

e

Het is ook mogelijk om ingewikkelder krommen te beschrijven. Hier zie je daarvan een voorbeeld. Gegeven is in het complexe vlak de verzameling van alle punten z die beschreven wordt door: z = 2 t 1 + t e π i t , met t 0 . Teken de kromme die deze verzameling in het complexe vlak vormt.

f

Het is niet beslist nodig om de notatie van Euler te gebruiken. Ook in de schrijfwijze z = x + i y kunnen zowel x als y een functie van t zijn. Zoek een paar "mooie" krommen en beschrijf die met behulp van complexe getallen. Probeer telkens ook te bepalen hoe r = | z | en φ = arg ( z ) van t afhangen. Teken ook de uitgezochte krommen!

Opgave 8Complexe e-macht
Complexe e-macht

De functie is de complexe e-machtsfunctie. Hij is periodiek.

Stel en kies je uit en uit .
Het domein van wordt dan de rechthoek .
In de applet zie je en bij dit domein.
Het bereik wordt het gebied tussen de twee (blauwe) cirkels om .

Dat is gemakkelijk in te zien, want
.
Voor de functiewaarden gelt dus en
.
De twee cirkels die het bereik bepalen hebben straal en .

De periodiciteit van blijkt als je alleen verandert: .

Op dezelfde wijze kun je de complexe functie bestuderen.
Dan merk je dat het handiger is om uit te gaan van ...

a

Laat zien, dat e 1 + π i = -e en dat e 1 + 0,5 π i = ei .

b

Neem z = x + i y en laat zien dat: | f ( z ) | = e x en arg ( f ( z ) ) = y .

c

Waarom is f een periodieke functie? Geef twee voorbeelden van complexe getallen die dezelfde functiewaarde hebben.

d

Neem als domein D f = [ - 2 , 2 ] × [ - 4 , 4 ] en teken het bijpassende bereik.

e

Wat is het kleinste domein dat hetzelfde bereik heeft?

f

Bekijk nu de complexe functie g met g ( z ) = ln ( z ) . Nu kun je complexe getallen het beste schrijven in de vorm z = r e i φ ? Laat zien dat ln ( i ) = 0,5 π en dat ln ( - 1 ) = π .

g

Bereken nu exact: g ( 1 + i ) , g ( 3 i ) en g ( 2 - 2 i ) .

h

Neem als domein alle reële getallen met | z | 2 . Bepaal het bijbehorende bereik.

Opgave 9Mathematische slinger
Mathematische slinger

Een mathematische slinger is een (niet bestaanbare) ideale slinger. Hij is het best te benaderen door een naar verhouding kleine loden kogel aan een lange, sterke maar ragdunne draad te hangen. Als je de kogel uit zijn evenwichtsstand brengt en loslaat gaat hij slingeren. Bij de ideale slinger neem je dan aan, dat de draad geen massa heeft en geen luchtweerstand ondervindt.
De kogel wordt voortbewogen door een component van de zwaartekracht, waarvoor volgens de tweede wet van Newton geldt: .

  • is de versnelling (in m/s2), de afgeleide van de snelheid (in m/s), die de afgeleide van de afgelegde weg (in m) is;

  • is de massa in ;

  • is de zwaartekrachtversnelling;

  • is de hoek van de draad met de evenwichtsstand (in rad).

hangt af van de tijd (in s). Verder is met in m. voor kleine hoeken. Voor geldt: . Deze differentiaalvergelijking is op te lossen m.b.v. complexe getallen. De oplossingen zijn , en zijn hierin nog te bepalen constanten. Het reële deel van deze functie is de sinusoïde die de beweging van de kogel beschrijft.

a

Leid voor α ( t ) de volgende differentiaalvergelijking af: .

b

Laat zien, dat aan een dergelijke differentiaalvergelijking een functie van de vorm α ( t ) = r e i c t voldoet. r en c zijn hierin nog te bepalen constanten.Bepaal deze constanten, dat wil zeggen druk ze uit in g en l .

c

Herschrijf de functie die je nu krijgt naar de vorm: α ( t ) = r ( cos ( φ ) + i sin ( φ ) ) . Laat zien, dat het reële deel van de gevonden functie α ( t ) een zuivere sinusoïde oplevert.

d

Neem l = 1 m en zoek de juiste waarde van g op. Neem aan dat α ( 0 ) = 0,1 rad. Stel nu een functievoorschrift op voor de a afhankelijk van t .

e

Natuurlijk moet je eigenlijk rekening houden met de luchtweerstand en de wrijving die daardoor ontstaat. Die wrijving is recht evenredig met l α ( t ) . Laat zien, dat nu geldt: een positieve constante, de wrijvingscoëfficiënt, is.

f

Deze differentiaalvergelijking is nog niet eenvoudig op te lossen. Probeer een functie als α ( t ) = e z t , waarin z een willekeurig complex getal is.

g

Laat zien dat de differentiaalvergelijking dan overgaat in m l z 2 + k l z = - m g .

h

Neem l = 1 m, m = 500 g en k = 0,10 . Bepaal nu de oplossingen α ( t ) van de differentiaalvergelijking. Is de grafiek van het reële deel van α ( t ) nu ook een zuivere sinusoïde?

i

Heeft de differentiaalvergelijking voor alle waarden van m , l en k zinvolle oplossingen? Verklaar je antwoord.

Opgave 10Fractalen
Fractalen

Omstreeks 1918 ontdekte de Franse wiskundige Gaston Julia een zeer grillige meetkundige structuur, waarvan hij zich toen nauwelijks een visuele voorstelling kon maken. Pas in de laatste jaren zijn wiskundigen met behulp van snelle computers met grote grafische mogelijkheden in staat om deze structuren - die de wiskundige Mandelbrot fractalen is gaan noemen - zichtbaar te maken.

De fractal van Levy bijvoorbeeld is te construeren door te beginnen met een (niet te klein) lijnstuk en dat te vervangen door een half vierkant waarvan de uiteinden samenvallen met die van het lijnstuk. Vervolgens herhaal je dat met de twee lijnstukjes die je gekregen hebt, enzovoorts, tot in het oneindige door.

De Levy-fractal kun je beschrijven met een stelsel complexe functies.
Begin met de complexe getallen met en uit .
Pas op elke deze twee functies toe:


Teken de beide beeldlijnstukken. Pas op elk der beeldlijnstukken opnieuw beide functies toe. Je krijgt dan vier beeldlijnstukjes, waarop je opnieuw beide functies loslaat. En zo ad infinitum.

Als je googlet op "fractal" vind je veel sites waar prachtige voorbeelden van fractalen zijn te zien...

a

Maak zelf de fractal van Levy. Het vreemde van fractalen is dat er een (in principe) oneindig lange gebroken lijn ontstaat op een eindig oppervlak. Fractalen zijn met de computer te tekenen en met complexe getallen vaak te beschrijven met behulp van eenvoudige lineaire complexe functies.

b

Gegeven is de complexe functie f ( z ) = ( 1 + i ) z . Teken het beeld van z 1 = 0 , z 2 = 1 en z 3 = 2 bij deze functie. Teken het beeld van het lijnstuk met eindpunten z 1 = 0 en z 4 = 4 .

c

Met welke factor wordt de lengte van het lijnstuk vermenigvuldigd? Over welke hoek wordt het gedraaid?

d

Beantwoord dezelfde vragen voor de complexe functie g ( z ) = ( 1 + i ) z + ( 1 - i ) .

e

Fractalen kunnen nu ontstaan door complexe functies na elkaar te blijven uitvoeren. Bijvoorbeeld kan de Levy-fractal beschreven worden met behulp van een stelsel complexe functies. Begin met de complexe getallen z gelegen op het lijnstukje met eindpunten z 1 = 0 en z 2 = 4 . Pas op elke z deze twee functies toe: L : L ( z ) = 0 , 5 ( 1 + i ) z ; R : R ( z ) = 0 , 5 ( 1 - i ) z + 2 ( 1 + i ) . Teken de beide beeldlijnstukken. Pas op elk der beeldlijnstukken opnieuw beide functies toe. Je krijgt dan vier beeldlijnstukjes, waarop je opnieuw beide functies loslaat. Enzovoort.

f

Een andere bekende fractal is de H -fractal. Daarbij zet je telkens aan de eindpunten van een lijnstuk twee lijnstukjes die er loodrecht op staan en er de helft van zijn. Teken eens een H -fractal (weer 12 stappen) en probeer hem door een stelsel complexe functies te beschrijven.
Echte liefhebbers van programmeren hebben natuurlijk aan een eenvoudig functievoorschrift genoeg om het ontstaan van de twee fractalen hierboven met de computer in beeld brengen! Daarbij kun je gebruik maken van het feit dat complexe getallen kunnen worden voorgesteld door vectoren ( x , y ) . Er bestaan veel websites waarop fractalen zichtbaar worden gemaakt. Misschien raak je er door geïnspireerd om ze zelf te programmeren. Bekijk ze maar eens...

verder | terug