Het maximaal aantal plaatsen is 300: `k + v le 300` .
Per twee kinderen is er minimaal één volwassene: `k le 2v` .
Het aantal verkochte kaartjes is positief of `0` : `k ge 0` en `v ge 0` .

Het gaat om aantallen mensen.

`R = 1200,00` euro.

`350 = 3,50k + 5,00v` geeft: `v = text(-)0,7k + 70` .

`210 = 3,50k + 5,00v` geeft: `v=text(-)0,7k + 42` .

`3,50*40 + 5,00v = 1050` geeft `v=182` , dus `182` volwassenen.

Het aantal volwassenen ( `v` ) moet kleiner zijn dan of gelijk zijn aan het aantal kinderen ( `k` )
Hieruit volgt: `v le k` .

`R = 500` geeft `3,50k+5,00v = 500` en hieruit volgt: `v = text(-)0,7k+100` .

`R = 1000` geeft `3,50k+5,00v = 1000` en hieruit volgt: `v = text(-)0,7k+2` .

`x+y le 8` geeft: `y le 8 - x` .

`y - 0,5x le 3` geeft: `y le 3 + 0,5x` .

De niveaulijnen bij `z = 0` , `z = 5` en `z = 10` zijn:

• `z = 0` geeft `3x+y = 0` en hieruit volgt: `y = text(-)3x` .

• `z=5` geeft `3x+y = 2` en hieruit volgt: `y = 5-3x` .

• `z=10` geeft `3x+y = 10` en hieruit volgt: `y = 10-3x` .

`K = 1,80x + 2,10y`

• `x ge 0`

• `y ge 0`

• `x + y ge 6`

• `x + y le 12`

• `y le 2x`

Er zijn verschillende manieren om dit op te lossen.

Manier 1:
Dit punt moet op de lijn `x + y = 12` liggen en ook op kromme `y = p/x` . Verder moet in dit punt de grafiek van `p/x` aan de lijn `y = text(-)x + 12` raken, dus moet gelden dat `(text(d)y)/(text(d)x) = text(-)p/(x^2) = text(-)1` . Uit dit laatste volgt `x = sqrt(p)` en `y = sqrt(p)` (de negatieve waarden vervallen). Met `x + y = 12` geeft dit `2 sqrt(p) = 12` , dus `p = 36` . Het raakpunt vind je nu door `y = 36/x` te substitueren in `x+y = 12` . Je krijgt dan: `x + 36/x = 12` en `x^2-12x+36 = 0` , zodat `(x-6)^2 = 0` en `x = 6` .

Dan is `y=6` . Het gevraagde (raak)punt heeft dus coördinaten `(6, 6)` .

Manier 2:
De vergelijking `p/x=text(-)x+12` mag maar één oplossing hebben. Vermenigvuldigen met `x` en herleiden op 0 levert: `x^2-12x+p=0` . De discriminant moet 0 zijn (omdat er maar één oplossing mag zijn). Dus `D=(text(-)12)^2-4*1*p=144-4p=0` . Dit geeft als oplossing `p=36` .
Invullen in de vergelijking geeft `x^2-12x+36=(x-6)^2=0` , ofwel `x=6` . Dan is `y=6` .

Het gevraagde (raak)punt heeft dus coördinaten `(6, 6)` .

Manier 3:
Omdat `x+y = 12` kun je de in de doelfunctie `y` vervangen door `12-x` : `z = x*(12-x)` geeft `z = text(-)x^2+12x` .

Je weet dat, als de grafiek van `y = p/x` de lijn `x+y = 12` raakt, `z` maximaal is.

`z` is maximaal in de top van de parabool `z = text(-)x^2+12x` .

`x_(text(top)) = text(-)b/(2a) = text(-)12/(text(-)2) = 6` en `y_(text(top)) = 6` .

Het gevraagde (raak)punt heeft dus coördinaten `(6, 6)` .

`z = 36`

`A = x * y`

• `x ge 0`

• `y ge 0`

• `2(x + 8) + 2(y + 16) le 240` , ofwel `x +y le 96`

Slechts de positieve getallen kunnen tot het toegestane gebied behoren door de eerste twee voorwaarden. Daarnaast moeten de punten zich onder de lijn `x+ y = 96` ofwel `y = 96 -x` bevinden.

De niveaulijnen zijn `y=83/x` , `y=340/x` en `y=682/x` .

Met de grafische rekenmachine kun je dit tekenen, bekijk het Practicum.

Zie figuur.

Je kunt ook de GR gebruiken. Venster bijvoorbeeld: `[0, 10]xx[0, 10]` .
Schrijf randvoorwaarde `x + 5y le 30` om tot grenslijn `y = 6 - 0,2x` en voer deze formule in op de grafische rekenmachine.
Voer ook de formule `y = 5` in.

`z = 8` geeft `x + y + 6 = 8` en hieruit volgt: `y = 2-x` .

`z = 12` geeft `x + y + 6 = 12` en hieruit volgt: `y = 6-x` .

`z = 18` geeft `x + y + 6 = 18` en hieruit volgt: `y = 12-x` .

Gebruik de GR met venster bijvoorbeeld: `[0, 6]xx[0, 8]` .

`x + y le 10` geeft: `y le 10 - x` .

`x + 4y ge 12` geeft: `y ge 3 - 0,25x` .

`z = 5` geeft `20-2x-y=5` en dus `y = 15-2x` . En zo krijg je ook de andere niveaulijnen.

De doelfunctie gaat over de winst, die is € 300 voor A en € 500 voor B.
`W = 300a + 500b` waarin `a` het aantal `1000` kg van variant A en `b` het aantal `1000`  kg van variant B per week is.

• `a ge 0`

• `b ge 0`

• `4a + 5b le 62`

• `3000a + 24000b le 150000` ofwel `3a + 24b le 150`

GR met venster `[0, 15]xx[0, 15]` .

• `4x + 5y le 62` geeft: `y le 12,4 - 0,8x`

• `3x + 24y le 150` geeft: `y le 6,25 - 0,125x`

De winst is € 300,00 voor aardappelen en € 270,00 voor bieten op `100` m². `W = 300a + 270b` waarin `a` het aantal keer `100` m² aardappelen en `b` het aantal keer `100` m² bieten is.

• `a ge 0`

• `b ge 0`

• `a+b le 15`

• `4a + 3b le 55`

• `16a + 40b le 480`

GR met venster `[0, 15]xx[0, 15]` .

• `x + y le 15` geeft: `y le 15 - x`

• `4x + 3y le 55` geeft: `y le 55/3 - 4/3x`

• `16x + 40y le 480` geeft: `y le 12 - 0,4x`

Het gebied wordt ingesloten door de grenslijnen:

• `y le 5`

• `y ge text(-)5`

• `y ge text(-)8 - x`

• `y le 8 - x`

• `y le x + 8`

• `y ge x - 8`

Kies voor de niveaulijnen bijvoorbeeld `z = 25` en `z = 50` en `z = 100` . Dit geeft drie cirkels:

• `z = 25` geeft `25 = x^2 + y^2` en hieruit volgt: `y = sqrt(25-x^2)` en `y = text(-)sqrt(25-x^2)` .

• `z = 50` geeft `50 = x^2 + y^2` en hieruit volgt: `y = sqrt(50-x^2)` en `y = text(-)sqrt(50-x^2)` .

• `z = 100` geeft `100 = x^2 + y^2` en hieruit volgt: `y=sqrt(100-x^2)` en `y = text(-)sqrt(100-x^2)` .

De minimale `z` -waarde moet wel `0` zijn, namelijk als `x = y = 0` .

De maximale `z` -waarde zit onder andere in de punten `(3, 5)` en `(5, 3)` (en nog zes van die punten).
Deze punten geven respectievelijk een `z` -waarde van `3^2 + 5^2 = 34` en `5^2 + 3^2 = 34` .
De maximale `z` -waarde is `34` .

Een reep kost € 0,20 aan biscuit, € 0,10 aan karamel en € 0,30 aan chocolade, dat is € 0,60 aan grondstoffen. Daar komt nog € 0,75 aan verwerkingskosten bij. Een reep kost in totaal € 1,35 per stuk.
Ze worden voor € 1,50 per stuk verkocht. De winst is € 0,15 per stuk, dus de totale winst per week is naar verwachting `W = 60000*0,15 = 9000,00` euro.

De totale winst is het aantal repen vermenigvuldigd met de winst per reep.
`x+y+z = 50` en hieruit volgt: `z = 50-x-y` .
De winst per reep is:
`p = 1,50 - (0,75+0,015x+0,01y+0,01(50-x-y)) = 0,25-0,005x` .
De totale winst is `W = q*p` , zodat:

`W`	`=`	`(20000+4000x-2000y)(0,25-0,005x)`
` `	`=`	`200(100+20x-10y)(0,25-0,005x)`
` `	`=`	`(100+20x-10y)(50-x)`

• `5 le y le 50` , want er is niet minder dan `5` gram biscuit, maar minder dan `50` gram.

• `14 le x le 50` , want er is ten minste `14` gram chocolade, maar niet meer dan `50` gram.

• `x+y ge 37` , want er is niet meer dan `13` gram karamel.

Venster: `[14, 50]xx[0, 60]` .
Teken hierin de ongelijkheden: `y ge 37 - x` , `y ge 5` en `y le 50` .

De niveaulijnen van `W=(100+20x-10y)(50-x)` zijn:

• `W = 5000 = (100+20x-10y)(50-x)` geeft: `y = text(-)500/ (50-x) + 10 +2x`

• `W = 10000 = (100+20x-10y)(50-x)` geeft: `y = text(-)1000 / (50-x) +10 + 2x`

Zie figuur.

`z` is maximaal `32` en minimaal `text(-)7` .