Lineair programmeren > Beslissingsproblemen
12345Beslissingsproblemen

Antwoorden van de opgaven

Opgave V1

Zie de uitleg.

Opgave 1
a
  • (maximaal fietsen)

  • (geen beperkingen voor e-bikes)

  • (er is maximaal €  om fietsen en e-bikes in te kopen)

  • (er is maximaal m2 opslag)

Zie voor de figuur de uitleg. Gebruik je GR met venster .

Bij hoort .

Bij hoort .

b

Je moet het snijpunt van de grenslijnen en bepalen. Uit de tweede vergelijking volgt . Vul dit in de eerste vergelijking in:

De bijbehorende -waarde is .
De maximale winst vind je in het punt .

Maar omdat je geen halve fietsen en e-bikes kunt verkopen kijk je naar de vier punten met gehele en om dit punt heen. Alleen de twee punten en liggen binnen het toegestane gebied. Bereken voor de beide punten de winst. Het punt levert de meeste winst op, namelijk euro.

c

In .

Opgave 2
a

is het aantal fietsen en het aantal e-bikes per week.

b
c

Gebruik je GR met venster .

Neem , en .

d

De winst op een fiets bedraagt € 150,00 en op een e-bike € 450,00. Dit geeft als doelfunctie. De niveaulijnen zijn:

  • en dit geeft:

  • en dit geeft:

e

De winst is maximaal in het snijpunt van de lijnen en . Dan is . Het snijpunt is .

f

euro.

Opgave 3
a

De doelfunctie is en de randvoorwaarden zijn:

b

Gebruik je GR met venster .

Neem en .

c

De hoekpunten van het toegestane gebied zijn:
, , , en

De winst in deze punten is achtereenvolgens:

  • in : euro;

  • in : euro;

  • in : euro;

  • in : euro;

  • in : euro.

De maximale winst wordt in punt behaald.

d

Als de grafiek van de winstfuctie (doelfunctie) evenwijdig loopt met één van de lijnstukken (grenzen) van het toegestane gebied

Opgave 4
a

Nu is de doelfunctie , deze functie loopt evenwijdig met de lijn . Dat betekent dat de maximale winst in alle punten op het lijnstuk wordt behaald. Vul de coördinaten van punt in. Deze maximale winst is nu euro.

b

en hebben nu niet langer maximale waarden. Dit heeft geen invloed op de maximale winst.

Opgave 5
a

De doelfunctie wordt en de randvoorwaarden zijn:

b

Gebruik de GR met venster .

Voer in: , en .

De niveaulijnen worden en .

c

is maximaal op het toegestane gebied in .
Van beide melanges zijn dat pakken.
euro.

Opgave 6
a

Gebruik de GR met venster .

Voer in: en .

Teken de niveaulijnen bij en .

De niveaulijnen worden en .

b

Bereken eerst de coördinaten van alle hoekpunten die het toegestane gebied vormen.

is minimaal in , namelijk .
is maximaal in , namelijk .

Opgave 7
a

Omdat en beide groter dan moeten zijn (zie de eerste twee voorwaarden), geldt automatisch dat:

b

is minimaal in het punt .
is dan .

Opgave 8
a
New York Londen
Koeweit
Galveston
Caracas

De transportkosten zijn in dat geval:
dollar.

b

Het minimum is dollar.

naar: examen vwo wiskunde A in 1983, eerste tijdvak

Opgave 9
a

Gebruik de GR met venster .

Voer in: , en .

Teken de niveaulijnen bij en .

De niveaulijnen worden en .

b

Teken enkele niveaulijen. Het maximum zit bij het snijpunt van de lijnen en . Dat snijpunt is .

Het maximum is .
Het minimum is .

Opgave 10
a

De beslissingsvariabelen zijn het aantal kinderfietsen en het aantal e-bikes .
De randvoorwaarden, uitgedrukt als ongelijkheden zijn:

  • en

De doelfunctie is de winstfunctie: .

geeft niveaulijn en geeft niveaulijn .

b

De maximale winst wordt bereikt in het snijpunt van de lijnen en . Uit de tweede vergelijking volgt . Dit invullen in de eerste vergelijking geeft:

Het snijpunt is .
De maximale winst is euro.

c

Het snijpunt verandert daardoor niet en daarom blijft de winst maximaal.

Opgave 11
a

Laat het aantal kg aardappelen en het aantal kg bonen zijn dat per pak nodig is.
De randvoorwaarden zijn dan:

  • eiwit:

  • zetmeel:

  • vet:

  • en

De kostenfunctie per pak is:
Teken het toegestane gebied met twee niveaulijnen.

De kosten zijn minimaal in het snijpunt van de lijnen en .

De bijbehorende waarde voor is .

De minimale kosten per pak liggen bij kg aardappelen en kg bonen per pak. De kosten bedragen dan euro per pak, dat is € 7,10 per pakken.

b

kg aardappelen levert gram aan voedingstoffen en kg bonen gram.
Het gaat nu om de doelfunctie , deze moet minimaal zijn.

Het gewicht is minimaal in het snijpunt van de lijnen en .

De bijbehorende waarde van is .

Per pak is het gewicht minimaal kg.
Per pakken is dat kg ofwel gram (bij kg aardapelen en kg bonen).

Opgave 12
a

Als er eenheden van Nederland naar A en eenheden van Nederland naar B worden getransporteerd, dan ligt de rest vast:

naar A naar B naar C
fabriek NL
fabriek CN
totaal

De randvoorwaarden:

De transportkosten zijn:
.

b

Gebruik de GR met venster .

Voer in: , en .

Uit de figuur met het toegestane gebied en twee niveaulijnen blijkt dat de minimale kosten worden bereikt in punt . Dan gaan er eenheden vanuit Nederland naar A, naar B en naar C. De kosten zijn dan euro.

Opgave 13
a

het aantal aluminium rackets en het aantal kunststof rackets .

b

Randvoorwaarden:

  • en

  • machines: ofwel

  • mensen: ofwel

De fabriek wil maximale winst behalen. De winstfunctie is: .

c

Gebruik de GR met venster .

Voer in: en .

Teken de niveaulijnen bij en .

De niveaulijnen worden en .

d

De maximale winst wordt bereikt in het snijpunt van de lijnen en . Herleid de eerste vergelijking tot . Dit invullen in de tweede vergelijking geeft:

De bijbehorende -waarde is .
Het snijpunt is .
De maximale winst is euro per dag.

e

Voorwaarde verandert in , want het aantal machines neemt met % ( deel) toe. Dat betekent ook dat het aantal rackets met % toeneemt, van naar .
Het snijpunt van lijn met lijn . Uit de eerste vergelijking volgt , dit invullen in de tweede vergelijking geeft:

De bijbehorende -waarde is .
Je kunt niet aluminium rackets maken, zodat , maar dan kan wel nog net zijn.
De maximale winst is euro per dag.

f

Voorwaarde verandert in , want het aantal werknemers neemt met % ( deel) toe. Dat betekent dat het aantal rackets met % toeneemt, van naar .
Het snijpunt van lijn met lijn is nu .

De maximale winst is euro per dag.

Opgave 14Sizik en Pernaas
Sizik en Pernaas
a

De verhoudingen sinaasappel en perzik:

Sizik Pernaas
sinaasappelsap 18 15
perziksap 4 1
22 16

Voor sinaasappelsap geldt de randvoorwaarde:
ofwel met grenslijn
Voor perziksap geldt randvoorwaarde: ofwel met grenslijn
Verdere randvoorwaarden zijn: en .

De doelfunctie is de winstfunctie ofwel .
Met niveaulijnen of de randenwandelmethode is zichtbaar dat het snijpunt tussen de twee eerder genoemde grenslijnen de maximale winst oplevert. Dan geldt:

Hieruit volgt: L Sizik en L Pernaas en dat levert een maximale winst euro op.

b

liter Sizik bestaat voor deel uit sinaasappel ofwel uit liter sinaasappelsap.
liter Pernaas bestaat uit deel uit sinaasappelsap ofwel uit liter sinaasappelsap.
Samen is dat liter sinaasappelsap en dat is precies wat de fabrikant had ingekocht.
Zo blijkt ook dat er respectievelijk en liter perziksap is gebruikt en dat is samen precies de ingekochte liter perziksap.

Opgave 15Parkeerterrein
Parkeerterrein
a
  • en

  • en

b

Zie figuur. GR met venster .

c

De opbrengstfunctie is: .

Het maximum wordt bereikt in het snijpunt van de lijnen en . Substitueren van de eerste vergelijking in de tweede geeft , ofwel en dan is . Maar omdat het om aantallen gaat, moeten en geheel zijn. Het roosterpunt dat het dichtst in de buurt van ligt (en binnen het toegestane gebied) is .
De opbrengst is maximaal bij auto's en autobussen: euro.

Opgave 16Arbowet
Arbowet

Grenslijn voorwaarde B:
Er is ten minste m3 boven m nodig.
Er is 200 m2 vloeroppervlak, zodat er ten minste m hoogte boven m nodig is. Daar komt dan nog m bij, zodat met een vergelijkbare grenslijn.
Voorwaarde B is het strengst op het gedeelte tussen de twee snijpunten.

Grenslijn voorwaarde A:
De inhoud per persoon is m3 en daar geldt voor ofwel met vergelijkbare grenslijn.
Voor het linker snijpunt geldt en dat geeft .
Voor het rechter snijpunt geldt en dat geeft .
Voorwaarde B is de strengste voorwaarde in het geval er tot en met personen in deze werkplaats werken.

bron: examen wiskunde A in 2003, tweede tijdvak

Opgave 17
a

Zie figuur. GR met venster .

b

Je ziet dat het minimum zit bij het snijpunt van de lijnen en , dus in . Dit maximum is dus . Het maximum is .

Opgave 18
a

Neem het aantal type I en het aantal type II. Dan geldt: , , en .

b

Opbrengst: . De maximale opbrengst is € 198 000,-; er worden dan type I en type II computers gemaakt.

c

Zeven mensen kunnen computers verpakken. Bij de productie, beschreven in b zijn werknemers bezig. De constructeurs hebben tijd over. Als er meer inpakkers zouden zijn, zou de constructieafdeling meer computers maken.

verder | terug