• `0 le x le 50` (maximaal `50` fietsen)

• `y ge 0` (geen beperkingen voor e-bikes)

• `500x + 900y le 95000` (er is maximaal € 95000,00 om fietsen en e-bikes in te kopen)

• `0,5x + 0,5y le 60` (er is maximaal `60` m² opslag)

Zie voor de figuur de uitleg. Gebruik je GR met venster `[0, 50]xx[0, 120]` .

Bij `W = 30000` hoort `y_3 = (300-2x)//3` .

Bij `W = 20000` hoort `y_3 = (200-2x)//3` .

Je moet het snijpunt van de grenslijnen `500x+900y = 95000` en `0,5x+0,5y=60` bepalen. Uit de tweede vergelijking volgt `x = 120-y` . Vul dit in de eerste vergelijking in:

`500(120-y)+900y`	`=`	`950000`
`400y`	`=`	`35000`
`y`	`=`	`87,5`

De bijbehorende `x` -waarde is `x = 32,5` .
De maximale winst vind je in het punt `(32,5; 87,5)` .

Maar omdat je geen halve fietsen en e-bikes kunt verkopen kijk je naar de vier punten met gehele `x` en `y` om dit punt heen. Alleen de twee punten `(32, 87)` en `(33, 87)` liggen binnen het toegestane gebied. Bereken voor de beide punten de winst. Het punt `(33, 87)` levert de meeste winst op, namelijk `W = 200*33+300*87 = 32700,00` euro.

In `O(0, 0)` .

`x` is het aantal fietsen en `y` het aantal e-bikes per week.

• `0 le x le 120`

• `0 le y le 70`

• `x + y le 140`

• `x + 2y le 180`

Gebruik je GR met venster `[0, 120]xx[0, 100]` .

Neem `y_1 le 140-x` , `y_2 le 90-0,5x` en `y_3 le 70` .

De winst op een fiets bedraagt € 150,00 en op een e-bike € 450,00. Dit geeft `W = 150x+450y` als doelfunctie. De niveaulijnen zijn:

• `20000 = 150x + 450y` en dit geeft: `y = 44 4/9 - 1/3 x`

• `30000 = 150 x + 450y` en dit geeft: `y = 66 2/3 - 1/3 x`

De winst is maximaal in het snijpunt van de lijnen `x+2y = 180` en `y = 70` . Dan is `x = 40` . Het snijpunt is `(40, 70)` .

`W = 150*40+450*70 = 37500,00` euro.

De doelfunctie is `W = 0,5x+0,8y` en de randvoorwaarden zijn:

• `0 le x le 80`

• `y ge 0`

• `1,20x+1,50y le 120`

• `x+2y le 124`

Gebruik je GR met venster `[0, 80]xx[0, 100]` .

Neem `y_1 le 80 - 0,8x` en `y_2 le 62 - 0,5x` .

De hoekpunten van het toegestane gebied zijn:
`O(0, 0)` , `A(80, 0)` , `B(80, 16)` , `C(60, 32)` en `D(0, 62)` .

De winst `W` in deze punten is achtereenvolgens:

• in `O` : `W = 0` euro;

• in `A` : `W = 0,5*80+0,8*0 = 40,00` euro;

• in `B` : `W = 0,5*80+0,8*16 = 52,80` euro;

• in `C` : `W = 0,5*60+0,8*32 = 55,60` euro;

• in `D` : `W = 0,5*0+0,8*62 = 49,60` euro.

De maximale winst `W` wordt in punt `C` behaald.

Als de grafiek van de winstfunctie (doelfunctie) evenwijdig loopt met één van de lijnstukken (grenzen) van het toegestane gebied

Nu is de doelfunctie `W = 0,80x+0,40y` , deze functie loopt evenwijdig met de lijn `0,4x+0,2y = 6000` . Dat betekent dat de maximale winst in alle punten op het lijnstuk `MN` wordt behaald. Vul de coördinaten van punt `M` in. Deze maximale winst is nu `W = 0,80*6000+0,40*18000 = 12000,00` euro.

`x` en `y` hebben nu niet langer maximale waarden. Dit heeft geen invloed op de maximale winst.

De doelfunctie wordt `W = 0,70x + 0,50y` en de randvoorwaarden zijn:

• `0 le x le 12000`

• `0 le y le 20000`

• `0,3x + 0,2y le 6000`

• `0,2x + 0,3y le 6000`

Gebruik de GR met venster `[0, 12000]xx[0, 30000]` .

Voer in: `y_1 le 30000 - 1,5x` , `y_2 le 20000 - 2/3 x` en `y_3 le 20000` .

De niveaulijnen worden `y_4 = 10000-1,4x` en `y_5 = 20000-1,4x` .

`W` is maximaal op het toegestane gebied in `(12000, 12000)` .
Van beide melanges zijn dat `12000` pakken.
`W = 0,70 * 12000 + 0,50 * 12000 = 144000,00` euro.

Gebruik de GR met venster `[5, 32]xx[0, 30000]` .

Voer in: `y_1 le 43 - 0,6x` en `y_2 le 26 - 1,2 x` .

Teken de niveaulijnen bij `W=10` en `W=20` .

De niveaulijnen worden `y_3 = 10-2x` en `y_4 = 20-2x` .

Bereken eerst de coördinaten van alle hoekpunten die het toegestane gebied vormen.

`W` is minimaal in `(0, 20)` , namelijk `W=20` .
`W` is maximaal in `(32, 24)` , namelijk `W=87` .

Omdat `x` en `y` beide groter dan `0` moeten zijn (zie de eerste twee voorwaarden), geldt automatisch dat: `20+x+y ge 0` .

`K` is minimaal in het punt `(50, 0)` .
`K` is dan `960` .

	New York	Londen
Koeweit	`140000`	`60000`
Galveston	`100000`	`50000`
Caracas	`60000`	`40000`

De transportkosten zijn in dat geval:
`K = 0,38*140000+0,35*60000+0,10*100000+0,22*50000+` `0,18*60000+0,25*40000 = 116000` dollar.

Het minimum is `104500` dollar.

Gebruik de GR met venster `[0, 50]xx[0, 80]` .

Voer in: `y_1 le 80 - 0,5x` , `y_2 le 400 - 4x` en `y_3 le 60` .

Teken de niveaulijnen bij `W = 10` en `W = 20` .

De niveaulijnen worden `y_3 = 10-2x` en `y_4 = 20-2x` .

Teken enkele niveaulijnen. Het maximum zit bij het snijpunt van de lijnen `x + 2y = 160` en `4x + y = 400` . Dat snijpunt is `M(640/7, 240/7)` .

Het maximum is `W(640/7, 240/7) = 880/7 =125 5/7` .
Het minimum is `W(0, 0) = 0` .

De beslissingsvariabelen zijn het aantal kinderfietsen `x` en het aantal e-bikes `y` .
De randvoorwaarden, uitgedrukt als ongelijkheden zijn:

• `0 le x le 40` en `y ge 0`

• `250x + 1000y le 48000`

• `0,5x + y le 50`

De doelfunctie is de winstfunctie: `W = 200x + 450y` .

`W = 9000` geeft niveaulijn `y = 20 - 4/9x` en `W = 18000` geeft niveaulijn `y = 40 - 4/9x` .

De maximale winst wordt bereikt in het snijpunt van de lijnen `250x + 1000y = 48000` en `0,5x + y = 50` . Uit de tweede vergelijking volgt `y=50-0,5x` . Dit invullen in de eerste vergelijking geeft:

`250x+1000(50-0,5x)`	`=`	`48000`
`text(-)250x`	`=`	`text(-)2000`
`x`	`=`	`8`

Het snijpunt is `(8, 46)` .
De maximale winst is `W(8, 46) = 200*8+450*46 = 22300,00` euro.

Het snijpunt `(8, 46)` verandert daardoor niet en daarom blijft de winst maximaal.

Laat `a` het aantal kg aardappelen en `b` het aantal kg bonen zijn dat per pak nodig is.
De randvoorwaarden zijn dan:

• eiwit: `25a+50b ge 13`

• zetmeel: `400a+200b ge 100`

• vet: `40a+40b ge 18`

• `a ge 0` en `b ge 0`

De kostenfunctie per pak is: `K = 0,15*a+0,20*b`
Teken het toegestane gebied met twee niveaulijnen.

De kosten zijn minimaal in het snijpunt `B` van de lijnen `25a+50b = 13` en `40a+40b = 18` .

De bijbehorende waarde voor `a` is `a = 0,38` .

De minimale kosten per pak liggen bij `0,38` kg aardappelen en `0,7` kg bonen per pak. De kosten bedragen dan `K = 0,15*0,38+0,20*0,07 = 0,071` euro per pak, dat is € 7,10 per `100` pakken.

`1` kg aardappelen levert `25+400+40 = 465` gram aan voedingsstoffen en `1` kg bonen `50+200+40 = 290` gram.
Het gaat nu om de doelfunctie `G = 0,465a+0,29b` , deze moet minimaal zijn.

Het gewicht is minimaal in het snijpunt `C` van de lijnen `40a+40b = 18` en `400a+200b = 100` .

De bijbehorende waarde van `b` is `b = 0,40` .

Per pak is het gewicht minimaal `G = 0,465*0,05+0,29*0,40 = 0,13925` kg.
Per `100` pakken is dat `13,925` kg ofwel `13925` gram (bij `5` kg aardappelen en `40` kg bonen).

Als er `x` eenheden van Nederland naar A en `y` eenheden van Nederland naar B worden getransporteerd, dan ligt de rest vast:

	naar A	naar B	naar C
fabriek NL	`x`	`y`	`5000-x-y`
fabriek CN	`3000-x`	`4500-y`	`7000-(3000-x)-(4500-y)`
totaal	`3000`	`4500`	`4500`

De randvoorwaarden:

• `0 le x le 3000`

• `0 le y le 4500`

• `x + y le 5000`

• `x + y ge 500`

De transportkosten zijn:
`K = 4x+2y+5(5000-x-y)+5(3000-x)+2(4500-y)+3(x+y-500) = ` `47500-3x-2y` .

Gebruik de GR met venster `[0, 50]xx[0, 5000]` .

Voer in: `y_1 le 5000 - x` , `y_2 le 500 - x` en `y_3 le 4500` .

Uit de figuur met het toegestane gebied en twee niveaulijnen blijkt dat de minimale kosten worden bereikt in punt `(3000, 2000)` . Dan gaan er `3000` eenheden vanuit Nederland naar A, `2000` naar B en `0` naar C. De kosten zijn dan `K = 47500-3*3000-2*2000 = 34500,00` euro.

Het aantal aluminium rackets `x` en het aantal kunststof rackets `y` .

Randvoorwaarden:

• `x ge 0` en `y ge 0`

• `25` machines: `25/30x+25/150y le 25` ofwel `5x + y le 150`

• `20` mensen: `1/2x+1/5y le 20` ofwel `5x + 2y le 200`

De fabriek wil maximale winst behalen. De winstfunctie is: `W = 55x + 20y` .

Gebruik de GR met venster `[0, 50]xx[0, 80]` .

Voer in: `y_1 le 150 - 5x` en `y_2 le 100 - 2,5x` .

Teken de niveaulijnen bij `W = 500` en `W = 1500` .

De niveaulijnen worden `y_3 = 25-2,75x` en `y_4 = 75-2,75x` .

De maximale winst wordt bereikt in het snijpunt `M` van de lijnen `5x+y = 150` en `5x+2y = 200` . Herleid de eerste vergelijking tot `y = 150-5x` . Dit invullen in de tweede vergelijking geeft:

`5x+2(150-5x)`	`=`	`200`
`text(-)5x`	`=`	`text(-)100`
`X`	`=`	`20`

De bijbehorende `y` -waarde is `y = 50` .
Het snijpunt is `M(20, 50)` .
De maximale winst is `W(20, 50) = 55*20+20*50 = 2100,00` euro per dag.

Voorwaarde `5x+yle150` verandert in `5x+y le 156` , want het aantal machines neemt met `4` % ( `1/25` deel) toe. Dat betekent ook dat het aantal rackets met `4` % toeneemt, van `150` naar `156` .
Het snijpunt `M` van lijn `5x+y = 156` met lijn `5x+2y = 200` . Uit de eerste vergelijking volgt `y = 156-5x` , dit invullen in de tweede vergelijking geeft:

`5x+2(156-5x)`	`=`	`200`
`text(-)5x`	`=`	`text(-)112`
`x`	`=`	`22,4`

De bijbehorende `y ` -waarde is `44` .
Je kunt niet `22,4` aluminium rackets maken, zodat `x = 22` , maar dan kan `y` wel nog net `45` zijn.
De maximale winst is `W(22, 45)=55*22+20*45=2110,00` euro per dag.

Voorwaarde `5x+2y le 200` verandert in `5x+2y le 210` , want het aantal werknemers neemt met `5` % ( `1/20` deel) toe. Dat betekent dat het aantal rackets met `5` % toeneemt, van `200` naar `210` .
Het snijpunt `M` van lijn `5x+y = 150` met lijn `5x+2y = 210` is nu `M(18, 60)` .

De maximale winst is `W(18, 60) = 55*18+20*60 = 2190,00` euro per dag.

De verhoudingen sinaasappel en perzik:

	Sizik `= x`	Pernaas `= y`
sinaasappelsap	18	15
perziksap	4	1
	22	16

Voor sinaasappelsap geldt de randvoorwaarde:
`4/22 x + 1/16 y le 1000` ofwel `2/11 x + 1/16y le 1000` met grenslijn `y = 16000 - 2 10/11 x` .
Voor perziksap geldt randvoorwaarde: `18/22 x + 15/16 y le 6600` ofwel `9/11 x + 15/16 y le 6600` met grenslijn `y = 7040 - 48/55 x` .
Verdere randvoorwaarden zijn: `x ge 0` en `y ge 0` .

De doelfunctie is de winstfunctie `W = 1000/2200 x + 500/1600 y` ofwel `W = 5/11 x + 5/16 y` .
Met niveaulijnen of de randenwandelmethode is zichtbaar dat het snijpunt tussen de twee eerder genoemde grenslijnen de maximale winst oplevert. Dan geldt:
`16000 - 2 10/11 x = 7040 - 48/55 x`
Hieruit volgt: `x = 4400` L Sizik en `y = 3200` L Pernaas en dat levert een maximale winst `W = 5/11 * 4400 + 5/16 * 3200 = 3000,00` euro op.

`4400` liter Sizik bestaat voor `18/22` deel uit sinaasappel ofwel uit `3600` liter sinaasappelsap.
`3200` liter Pernaas bestaat uit `15/16` deel uit sinaasappelsap ofwel uit `3000` liter sinaasappelsap.
Samen is dat `6600` liter sinaasappelsap en dat is precies wat de fabrikant had ingekocht.
Zo blijkt ook dat er respectievelijk `800` en `200` liter perziksap is gebruikt en dat is samen precies de ingekochte `1000` liter perziksap.

• `x ge 0` en `y ge 0`

• `x+3y le 75`

• `x ge 3y` en `x le 8y`

• `y le 10`

Zie figuur. GR met venster `[0, 60]xx[0, 30]` .

De opbrengstfunctie is: `O = 8x+20y` .

Het maximum wordt bereikt in het snijpunt `M` van de lijnen `x = 8y` en `x+3y = 75` . Substitueren van de eerste vergelijking in de tweede geeft `11y = 75` , ofwel `y = 75/11` en dan is `x = 600/11` . Maar omdat het om aantallen gaat, moeten `x` en `y` geheel zijn. Het roosterpunt dat het dichtst in de buurt van `M` ligt (en binnen het toegestane gebied) is `(54, 7)` .
De opbrengst is maximaal bij `54` auto's en `7` autobussen: `O = 8*54+20*7 = 572,00` euro.

Zie figuur. GR met venster `[0, 100]xx[0, 80]` .

Je ziet dat het minimum zit bij het snijpunt van de lijnen `2x + 3y = 240` en `5x + 2y = 500` , dus in `(1020/11, 200/11)` . Dit maximum is dus `W = 2000 - 1220/11` . Het maximum is `W(0, 0) = 2000` .

Neem `x` het aantal type I en `y` het aantal type II. Dan geldt: `0 le x le 50` , `0 le y le 50` , `x + y le 70` en `x + 1,5y le 110` .

Opbrengst: `R = 2400x + 3000y` . De maximale opbrengst is € 198 000,-.
Er worden dan `20` type I en `50` type II computers gemaakt.

Zeven mensen kunnen `70` computers verpakken. Bij de productie, beschreven in b zijn `95` werknemers bezig. De constructeurs hebben tijd over. Als er meer inpakkers zouden zijn, zou de constructieafdeling meer computers maken.