Lineair programmeren > BeslissingsproblemenVoorbeeld 3
Een firma moet `200` dozen, elk met `40` literblikken appelmoes, naar twee filialen transporteren. Deze dozen komen uit drie magazijnen. De transportkosten in euro per doos zijn weergegeven in de tabel.
| magazijn 1 | magazijn 2 | magazijn 3 | |
| filiaal 1 | 2 | 1 | 5 |
| filiaal 2 | 7 | 3 | 8 |
In magazijn 1 staan `50` dozen, in magazijn 2 ook `50` en in magazijn 3 staan `100` dozen. Naar filiaal 1 moeten `80` dozen, naar filiaal 2 moeten `120` dozen.
Hoe kun je dit transportprobleem zo oplossen dat de totale benodigde transportkosten zo klein mogelijk zijn?
De variabelen bestaan uit het aantal dozen dat van een bepaald magazijn naar een bepaald filiaal moet. Er zijn echter geen zes variabelen, want neem aan dat je `x` dozen van magazijn 1 naar filiaal 1 stuurt, dan kunnen er nog `50 - x` dozen naar filiaal 2. En zo kun je doorgaan.
| magazijn 1 | magazijn 2 | magazijn 3 | totaal | |
| filiaal 1 | `x` | `y` | `80-x-y` | `80` |
| filiaal 2 | `50-x` | `50-y` | `120-(50-x)-(50-y)` | `120` |
| totaal | `50` | `50` | `100` | `200` |
Elk van deze zes uitdrukkingen in `x` en `y` is positief.
Dat levert de volgende randvoorwaarden op:
-
`0 le x le 50`
-
`0 le y le 50`
-
`80-x-y ge 0`
-
`120-(50-x)-(50-y) = 20+x+y ge 0`
De totale transportkosten zijn:
`K = 2*x + 1*y + 5*(80-x-y) + 7*(50-x) + 3*(50-y) +`
` 8*(20+x+y)=1060 - 2x + y`
Bepaal nu alleen nog de waarden van `x` en `y` waarin `K` minimaal is. Bekijk het toegestane gebied met twee niveaulijnen.
Uit de figuur blijkt dat
`K`
minimaal is in het punt
`(50, 0)`
.
De minimale kosten zijn dan
`K=1060-2*50+0=960,00`
euro.
Gebruik de gegevens uit
Waarom heeft de randvoorwaarde `20+x+y ge 0` geen invloed op het toegestane gebied?
Los het probleem op met behulp van de randenwandelmethode.
Een oliemaatschappij heeft een voorraad van `200000` barrels in Koeweit, `150000` barrels in Galveston en `100000` barrels in Caracas. Een klant in New York heeft `300000` barrels besteld. Een tweede klant in Londen wil de overige `150000` barrels afnemen. In de tabel staan de transportkosten in dollarcent per barrel.
| New York | Londen | |
| Koeweit | 38 | 35 |
| Galveston | 10 | 22 |
| Caracas | 18 | 25 |
Maak een schema van het transport van de totale voorraad van deze oliemaatschappij in het geval er `140000` barrels van Koeweit naar New York en `100000` van Galveston naar New York worden getransporteerd. Hoeveel bedragen de bijbehorende transportkosten?
Bereken door middel van lineair programmeren een transportschema waarbij de transportkosten minimaal zijn.
(naar: examen vwo wiskunde A in 1983, eerste tijdvak)