Lineair programmeren > BeslissingsproblemenUitleg
Een rijwielhandelaar krijgt van een fabrikant een aanbod van fietsen en e-bikes tegen een inkoopprijs van € 500,00 per fiets en € 900,00 per e-bike. Dat aanbod lijkt hem wel wat, maar meer dan `50` fietsen van die fabrikant wil hij niet aanschaffen. Het aantal e-bikes heeft geen beperkingen. De rijwielhandelaar heeft voor dit aanbod maximaal € 95000,00 ter beschikking. Voor deze bestelling heeft hij maximaal `60` m2 opslagruimte beschikbaar, waarbij hij voor een fiets en een e-bike `0,5` m2 per stuk rekent. Per fiets kan hij € 200,00 winst maken en per e-bike € 300,00.
Om te berekenen hoeveel winst deze rijwielhandelaar maximaal kan maken, voer je variabelen in: `x` voor het aantal aan te schaffen fietsen en `y` voor het aantal aan te schaffen e-bikes. De winst `W` is dan een functie van de twee variabelen `W=200x+300y` met de randvoorwaarden:
-
`0 le x le 50`
-
`y ge 0`
-
`500x + 900y le 95000`
-
`0,5x + 0,5y le 60`
|
|
|
|
Bekijk het toegestane gebied met enkele niveaulijnen van de doelfunctie `W` .
Hoe groter de winst, hoe verder de niveaulijnen naar rechts schuiven. De maximale
winst van deze rijwielhandelaar vind je in het snijpunt van de grenslijnen
`500x+900y = 95000`
en
`0,5x+0,5y = 60`
.
Dat is het punt
`(32,5; 87,5)`
.
Maar omdat je geen halve fietsen en e-bikes kunt verkopen kijk je naar de vier punten
met gehele
`x`
en
`y`
om dit punt heen. Alleen de twee punten
`(32, 87)`
en
`(33, 87)`
liggen binnen het toegestane gebied. Bereken voor de beide punten de winst. Het punt
`(33, 87)`
levert de meeste winst op, namelijk
`W = 200*33+300*87 = 32700,00`
euro.
Deze manier van werken om een beslissingsprobleem op te lossen heet lineair programmeren.
Gebruik de gegevens uit de
Licht toe hoe je aan de randvoorwaarden voor `x` en `y` komt en breng het toegestane gebied met de twee niveaulijnen in beeld.
Bereken zelf de coördinaten van het punt waarin de winst maximaal is en bereken die maximale winst.
In welk punt van het toegestane gebied is `W` minimaal?
In een rijwielfabriek worden elke week fietsen en e-bikes gemaakt. De winst op een
fiets is € 150,00 en op een e-bike € 450,00. Per week kan deze fabriek hoogstens
`120`
fietsen of
`70`
e-bikes maken. In totaal is er voor
`140`
fietsen en e-bikes opslagruimte. Op een fiets wordt alleen een achterrem aangebracht,
op een e-bike zowel een voorrem als een achterrem. Het bedrijf produceert maximaal
`180`
van deze remmen per week.
Bereken de maximale winst per week.
Welke variabelen kies je?
Aan welke randvoorwaarden moeten de variabelen voldoen?
Teken het toegestane gebied.
Teken de twee niveaulijnen `W = 20000` en `W = 30000` .
In welk punt van het toegestane gebied is `W` maximaal?
Hoeveel bedraagt de maximaal mogelijke winst?
In bloemenkraam "'t Bloempje" worden onder andere rozen voor € 1,70 per stuk en zonnebloemen voor € 2,30 per stuk verkocht. Er is ruimte voor maximaal `124` losse bloemen, maar dat kunnen er ook minder zijn. Eén zonnebloem neemt namelijk evenveel ruimte in beslag als twee rozen.
De bloemist koopt zijn bloemen op de veiling. Hij kan maximaal € 120,00 besteden aan de inkoop van rozen en zonnebloemen. Eén losse roos kost € 1,20 en één zonnebloem € 1,50. Hij kan maximaal `80` rozen kopen.
Om te berekenen hoeveel winst de bloemist met de losse bloemen kan maken, voer je variabelen in: `x` voor het aantal rozen en `y` voor het aantal zonnebloemen.
Bepaal de randvoorwaarden en de doelfunctie bij dit probleem.
Teken het het toegestane gebied.
Omdat het om een lineair probleem gaat, bereik je de maximale winst in een hoekpunt van het toegestane gebied. Als je in alle hoekpunten de bijhorende winst `W` berekent, dan blijkt al snel waar de maximale winst wordt behaald. Deze methode wordt de randenwandelmethode genoemd. Je wandelt als het ware over de grenzen van het toegestane gebied.
Bereken alle hoekpunten en de bijhorende winst `W` .
Wanneer zal de winst niet alleen in één hoekpunt worden behaald, maar in alle punten van een lijnstuk?